Introducción

La derivada es fundamental en la formación de las personas profesionales en ingeniería, dado que la comprensión de este objeto matemático permite resolver una variedad de problemas relacionados con el campo de la ingeniería. Ese hecho, ha generado diversos estudios con relación con la complejidad de sus significados, sus múltiples representaciones, los procesos de enseñanza y aprendizaje, la idoneidad del significado de la derivada en los distintos currículos y los significados parciales en los textos universitarios de enseñanza para las ingenierías (^{Galindo Illanes y Breda, 2023b}; ^{Larios et al., 2021}; ^{Larios y Jiménez, 2022}; ^{Pino-Fan et al., 2016}; ^{Rodríguez-Nieto et al., 2022}). Trabajar los distintos significados de un objeto matemático es un aspecto propuesto por el Enfoque Ontosemiótico del Conocimiento e Instrucción Matemáticos (EOS, en adelante) (^{Godino et al., 2007}, ²⁰¹⁹), para conseguir una mejor comprensión y competencia del estudiantado y para presentarles unas “buenas” matemáticas, lo cual plantea analizar la complejidad de los objetos matemáticos por medio de sus pluri significaciones (significados parciales).

Algunos estudios de la derivada en carreras de Ingeniería Comercial afirman tener presente la relación entre los procesos y conceptos económicos y matemáticos. En particular, se observa un amplio énfasis en los procesos de representación utilizados en el área de la microeconomía (^{Ballard y Johnson, 2004}; ^{Butler et al., 1994}; ^{García et al., 2006}; ^{Hey, 2005}). También, por las dificultades en la interpretación de situaciones económicas debido a la débil comprensión de los significados matemáticos que las organizan (^{Ariza Cobos y Linares Ciscar, 2009}).

En esta línea, este trabajo forma parte de una investigación más amplia que pretende profundizar en la comprensión de las futuras personas profesionales en ingeniería comercial acerca del objeto matemático derivada en el contexto chileno. Para conseguir dicho objetivo, se ha realizado un estudio en diferentes etapas.

La primera etapa fue un estudio diagnóstico, el cual reveló que el alumnado presenta dificultades relacionadas con: a) el concepto de función y la concepción euclidiana de la recta tangente; b) la construcción del significado de recta tangente como límite de rectas secantes; c) la interpretación de la función derivada y su representación geométrica; realizar operaciones para calcular la pendiente de una recta y d) operar con funciones (^{Galindo Illanes et al., 2022}; ^{Galindo Illanes y Breda, 2022b)}.

La segunda etapa fue el estudio del tratamiento de la derivada en los programas de las asignaturas de las carreras de Ingeniería Comercial en Chile. Dicho estudio mostró que, si bien la mayor parte de las propuestas curriculares presentan similitudes en la organización de contenidos y en los elementos lingüísticos utilizados para la construcción del objeto derivada, se observan diferencias importantes en la preponderancia de la derivada interpretada como una razón de cambio y en los campos de problemas abordados (^{Galindo Illanes y Breda, 2022a}, ^2023a).

La tercera etapa fue el estudio de los significados pretendidos de la derivada en libros de texto para las carreas de Ingeniería Comercial en Chile, el cual evidenció:

a) un énfasis en el significado parcial de la derivada como el límite del cociente de incrementos y un predominio del lenguaje simbólico en los argumentos; b) poca presencia de algunos teoremas importantes relacionados a la derivada y; c) falta de una representatividad de las definiciones de la derivada (^{Galindo Illanes y Breda, 2023b}), pues no abarcaba la complejidad de este objeto matemático.

La cuarta etapa fue el diseño instruccional de un proceso de enseñanza y aprendizaje de la derivada para las futuras personas profesionales en ingeniería comercial, estudiantes de la carrera de Ingeniería Comercial de una universidad chilena (^{Galindo Illanes et al., 2023}). Para la construcción del diseño instruccional, se tuvo en cuenta, además de las herramientas teóricas del Enfoque Ontosemiótico (explicadas en la secuencia del texto), los resultados de las etapas del estudio previamente mencionado.

Con base en lo anterior, este trabajo tiene como objetivo presentar los resultados de la implementación de un diseño instruccional de enseñanza de la derivada para las futuras personas profesionales en ingeniería comercial en Chile, estudiantes de la carrera de Ingeniería Comercial de una universidad chilena.

Marco teórico

Los desarrollos teóricos propuestos por el EOS, explicados en ^{Godino et al. (2007}) y reelaborados recientemente por ^{Godino et al. (2019}), tienen como objetivo dar respuesta a algunos problemas generados en el campo de la Educación Matemática.

En el EOS, se asume que la actividad matemática es una actividad humana centrada en la resolución de problemas, y acontece en un tiempo-espacio determinado, a través de una secuencia de prácticas. Para ello, el EOS propone las nociones de situación-problema y de práctica matemática que se realiza durante la resolución de estas situaciones-problema. Tales secuencias de prácticas tienen lugar en el tiempo y se suelen considerar, en muchos casos, como procesos. Cuando un sujeto lleva a cabo y evalúa una secuencia de prácticas matemáticas, activa un conglomerado formado por situaciones-problemas, lenguajes, definiciones, proposiciones, procedimientos y argumentos, articulados en lo que, en términos del EOS, se llama una configuración de objetos primarios ^{Font et al. (2013}).

Para explicar cómo emergen los objetos primarios, resulta útil la metáfora “subir una escalera”. Cuando se trepa una escalera siempre se debe apoyar en un pie, pero cada vez el otro pie está en un escalón superior. La práctica matemática se puede comparar con esta acción. El escalón en el que se busca apoyo para realizar la práctica usa una configuración de objetos primarios ya conocida, mientras que el escalón superior al que se accede, como resultado de la práctica realizada, puede generar nuevos objetos primarios que no eran conocidos antes.

En el EOS, ^{Font et al. (2013}) considera que el camino por donde los objetos matemáticos emergen a partir de las prácticas es complejo y deben ser distinguidos, al menos, dos niveles. En un primero, emergen los objetos primarios y después hay una segunda emergencia que es el resultado de diferentes factores que explican ^{Font et al. (2013)}. Se trata de la emergencia de una referencia global asociada a diferentes configuraciones de objetos primarios, los cuales permiten realizar prácticas matemáticas en diferentes contextos; esto lleva a entender que ese objeto secundario se puede definir de diversas formas, representar de formas diferentes, etc. El resultado, según el EOS, es que exista un objeto, llamado en este artículo derivada, que juega el papel de referencia global de todas las configuraciones.

El EOS también asume el principio de que el conocimiento de un objeto, por parte de un sujeto (ya sea individuo o institución), es el conjunto de funciones semióticas que dicho sujeto puede establecer, en las cuales el objeto interviene como expresión o contenido. Además, la correspondencia entre un objeto y el sistema de prácticas donde tal objeto interviene se interpreta como el significado de ese objeto (institucional o personal).

Para delimitar los significados de un objeto matemático, el EOS propone la herramienta denominada análisis de sistemas de prácticas (personales e institucionales) y las configuraciones de objetos primarios involucradas en ellas (^{Godino, 2014}; ^{Godino y Batanero, 1994}).

En ^{Font et al. (2013}) y ^{Rondero y Font (2015}) se explica que la noción de complejidad del objeto matemático secundario y la de articulación de los componentes de dicha complejidad tienen un papel esencial en la enseñanza y aprendizaje de dicho objeto. Entender la complejidad del objeto secundario, en términos de una pluralidad de significados, es resultado de la visión pragmatista sobre el significado que se asume en el EOS. Desde un punto de vista pragmatista, el significado de un objeto matemático (primario o secundario) se entiende como el conjunto de prácticas en la que dicho objeto interviene de una manera determinante (o no). Un objeto matemático, originado como un emergente del sistema de prácticas para resolver un campo de problemas específico, con el paso del tiempo queda enmarcado en diferentes programas de investigación. Cada nuevo programa permite resolver nuevos tipos de problemas, aplicar nuevos procedimientos, relacionar el objeto (y, por tanto, definir) de manera diferente, utilizar nuevas representaciones, entre otras funciones. De esta manera, con el paso del tiempo, aparecen nuevos subconjuntos de prácticas (sentidos) que amplían el significado del objeto secundario.

Ahora bien, para el objeto matemático secundario derivada, ^{Pino-Fan et al. (2011}) caracterizan su complejidad mediante nueve configuraciones de objetos primarios: 1) tangente en la matemática griega; 2) variación en la edad media; 3) métodos algebraicos para hallar tangentes; 4) concepciones cinemáticas para el trazado de tangentes; 5) ideas intuitivas de límite para el cálculo de máximos y mínimos; 6) métodos infinitesimales en el cálculo de tangentes; 7) cálculo de fluxiones; 8) cálculo de diferencias y 9) derivada como límite.

En ^{Pino-Fan et al. (2013}) se utilizan estas nueve configuraciones para la reconstruir el significado global de la derivada, el cual se utiliza para valorar la representatividad del significado pretendido en el currículo de Bachillerato de México. La caracterización de la complejidad de la derivada que proponen ^{Pino-Fan et al. (2011}) facilita tener elementos para diseñar cuestionarios que permiten caracterizar la comprensión del estudiantado, docentes en servicio sobre la derivada ^{(Pino-Fan et al., 2015)}.

Al respecto, ^{Galindo Illanes y Breda (2023b}) profundizan el estudio de los significados de la derivada en el caso de que el objeto sea enseñado a estudiantes de Ingeniería Comercial. En este estudio, si se consideran las herramientas del EOS que se acaban de presentar y los estudios previos realizados (prerrequisitos para este) en ^{Galindo Illanes et al. (2022}, ²⁰²³) y ^{Galindo Illanes y Breda (2022b}, ^2022a, ^2023a, ^2023b) se busca presentar los resultados de un proceso de instrucción de la derivada aplicado a futuras personas profesionales en Ingeniería Comercial en Chile.

Metodología

En este apartado se explica el contexto del estudio, los instrumentos de recolección de datos y el análisis de estos.

Instrumentos de recolección de datos

Durante la implementación de las actividades y al finalizar cada campo de problemas se aplicó un instrumento evalua-tivo para realizar un análisis exploratorio del aprendizaje del estudiantado. A continuación, por motivos de espacio se presentan tres ta-reas, una para cada campo de problemas. Para la realización de estas tareas, cada estudian-te dispone de notebook, internet, GeoGebra (versión gratuita) y Symbolab (versión gra-tuita). El lenguaje y los procedimientos son de tipo gráfico, descriptivo y simbólico, por lo que las configuraciones presentes corres-ponden al tipo computacional y algebraica.

La pregunta del campo de problemas 1 proporcionó información en torno al co-nocimiento del o la estudiante sobre tangen-tes, pues durante el desarrollo de las tareas deberían usar la configuración de recta tan-gente asociada al significado geométrico de la derivada en un punto para dar respuesta a las preguntas del enunciado (Figura 1).

Nota: fuente ^{Galindo Illanes et al., 2023}.

Figura 1 Tarea 1 aplicada a cada estudiante al finalizar el campo de problemas sobre tangente (CP1) 

En esta tarea se esperaba que cada estudiante: a) analizara el gráfico de la función “ingreso marginal” y estableciera que las pendientes de las rectas tangentes en q = 1, q = 4 y q = 0 son _mq=1 = 2, m_q=4 = 8, m_q=0 = . Además, darse cuenta de que la función “ingreso marginal” corresponde a la derivada de la función “ingreso”, por lo que su gráfico le provee la información necesaria para establecer las pendientes de las rectas tangentes. Se espera que b) pueda construir la ecuación de la recta tangente en q = 4, cada estudiante utilice m_q=4 = 8 y del gráfico de la función “ingreso” obtenga I(4) = 16.

Con esta información, la ecuación de la recta tangente a la función “ingreso” es: I = 8q - 16. En c) cada estudiante debe analizar la gráfica de la función “ingreso marginal” y concluir que solo es positiva para q > 0 y no está definida para q Finalmente, se debe mencionar la relación entre la monotonía de la función “ingreso” y su derivada; es decir, para q > 0 la función “ingreso marginal” es positiva y, en consecuencia, la función “ingreso” es creciente.

A continuación, la pregunta asociada al campo de problemas 2 proporcionó información en torno a la aplicación de las reglas de derivación en el cálculo de funciones marginales, utilizando configuraciones algebraicas y un lenguaje simbólico (Figura 2).

En esta tarea, se esperaba que cada estudiante aplicara el álgebra de las derivadas y derivadas de las funciones elementales (llamadas reglas de derivación) para el cálculo del costo marginal y del ingreso marginal, además debería indicarlas en orden a medida que fueron utilizadas. Por ejemplo: considerando ƒ yｇ funciones reales continuas, c y n una constante real, n ≠ -1.

Ingreso marginal

Álgebra de la derivada

Nota: elaboración propia de la investigación

Figura 2 Tarea 2 aplicada al estudiantado al finalizar el campo de problemas sobre cálculo de derivadas a partir de reglas y teoremas de derivación (CP2) 

Álgebra de la derivada

(c.f)´= c. (f)´

Regla derivada

Luego, para determinar si es conve-niente producir la unidad número 11. Se esperaba que cada estudiante evaluara las funciones marginales del ingreso y costo en q = 10, para poder predecir la conveniencia de la producción de la unidad número 11. En otras palabras,

El estudiante debería concluir que, como c’ (10) > r’ (10), no es conveniente producir la unidad número 11.

Finalmente, se presenta una de las preguntas del instrumento que se aplicó al finalizar el campo de problemas 3. Esta pregunta permitió analizar la comprensión del estudiante en torno a la relación entre la representación gráfica de la función y de su derivada ƒ’, a través del criterio de la pri-mera derivada para extremos relativos y el análisis de la monotonía (Figura 3).

En este problema se espera que el estu-diante modele la función “utilidad”, es decir:

U(q) = 0.004q3 + 4q2 + 430q - 5000, q ≥ 0

Luego se espera que derive la función “utilidad” y analice para cuáles valores reales de q:

U’ (q) = 0, U’ (q) > 0, U’ (q) < 0

Esto le permitió a cada estudiante determinar la monotonía de la función “utilidad” y, posteriormente, aplicar el criterio de la primera derivada para extremos relativos, con lo cual se obtiene el nivel de producción que maximiza la utilidad y la utilidad máxima.

Al final, con la información de la monotonía de la función “utilidad” y los extremos relativos, cada estudiante pudo realizar un bosquejo de la gráfica de la función.

Método de análisis

Al finalizar la implementación, después de aplicar los instrumentos evaluativos, se realizó un análisis de tipo mixto (^{Johnson y Onwuegbuzie, 2004}). Usando la noción de configuraciones de los objetos primarios del EOS, se cuantificó, para cada uno de los objetos primarios, la cantidad de acciones correctas (frecuencia) relacionadas con las resoluciones de los y las estudiantes en los problemas propuestos. Por su parte, desde el punto de vista cualitativo, fue posible identificar las respuestas y los argumentos correctos e incorrectos de cada estudiante al resolver las tareas planteadas.

Figura 3 Tarea 3 que se aplicó a los estudiantes al finalizar el estudio del campo de problemas aplicaciones de la derivada para el cálculo de máximos y mínimos, y análisis de gráficas de funciones (CP3) 

Análisis y resultados

A continuación, se presentan algunos resultados obtenidos a partir del análisis de las respuestas del grupo de 90 estudiantes de Ingeniería Comercial. Además, se muestran evidencias (imágenes de respuestas) de los procedimientos y argumentos de algunas de las personas estudiantes. La Tabla 3 explicita los resultados de la Tarea 1. Se observa que el 93 % de estudiantes identifica la relación entre la función “ingreso” y su marginal; por consiguiente, se puede inferir que comprenden que la función “ingreso marginal” proporciona las pendientes de las rectas tangentes. Además, se observa que el 78 % identifica las pendientes de las rectas tangente a la función “ingreso”, a partir de la función “ingreso marginal”. Finalmente, el 42 % del estudiantado, para el análisis de la monotonía de la función “ingreso”, justifica de forma correcta el vínculo entre la función “ingreso marginal” y la función “ingreso”. Estos resultados indican una mejora en la construcción de la concepción cartesiana de la recta tangente, el aprendizaje de la relación entre la recta tangente a una curva con la interpretación geométrica de la derivada y la aplicación de la derivada en el análisis marginal, superando de esta forma algunas de las dificultades evidenciadas por las investigaciones previas (^{Biza y Zachariades, 2010}; ^{Galindo Illanes et al., 2022}; ^{Orts Muñoz et al., 2016}; ^{Santi, 2011}).

En la Figura 4 se observa que un estudiante identifica las pendientes de las rectas tangentes observando la función “ingreso marginal”; es decir, conoce el vínculo entre la función “ingreso” y su marginal. Además, construye correctamente las ecuaciones de las rectas tangentes a la función “ingreso”.

La Figura 5 muestra que, si bien el estudiante comprende que la gráfica de la función “derivada” le proporcionará las pendientes de las rectas tangentes, aún pre-senta algunas ambigüedades al momento de definirla, por lo cual manifiesta que “deri-vada es lo mismo que pendiente”. Se trata de una ambigüedad típica en este tema (de-rivada se puede referir tanto a la función “derivada” como a la derivada en un punto),

Nota: elaboración propia de la investigación

Figura 4 Desarrollo correcto de un estudiante en la construcción de la recta tangente a la función “ingreso” 

Nota: elaboración propia de la investigación

Figura 5 Ambigüedad de un estudiante al referirse a la “derivada” 

Nota: elaboración propia de la investigación

Figura 6 Desarrollo algebraico de un estudiante en la construcción de la recta tangente a la función “ingreso” 

que normalmente se desambigua por el con La Figura 6 muestra que un estudiante texto, ya que suele estar relacionada con el encuentra la función algebraica que correslenguaje utilizado por la persona docente al ponde a la gráfica de la función “ingreso”, momento de explicar la definición de deri luego de eso obtiene su derivada, utilizanvada. Por ejemplo, al utilizar expresiones do las reglas de derivación y construye las metafóricas o un lenguaje simplificado para ecuaciones de las rectas tangentes solicitafacilitar la comprensión del estudiantado das. Esto indica que el o la estudiante com(^{Löbner, 2013}); o bien, puede estar relacio prende que la derivada le proporcionará las nada con la dificultad de no poder manejar pendientes de las rectas tangentes necesaesta disparidad de significado que tiene el rias, sin embargo, no vincula la derivada del propio sujeto al momento de interpretar el ingreso con su marginal. término “derivada” (^{Godino et al., 2007}).

La Figura 6 muestra que un estudiante encuentra la función algebraica que corresponde a la gráfica de la función “ingreso”, luego de eso obtiene su derivada, utilizando las reglas de derivación y construye las ecuaciones de las rectas tangentes solicitadas. Esto indica que el o la estudiante comprende que la derivada le proporcionará las pendientes de las rectas tangentes necesarias, sin embargo, no vincula la derivada del ingreso con su marginal.

La Figura 7 muestra la justificación de un estudiante en torno al vínculo entre la función “ingreso marginal” y la función “ingreso”, para el análisis de la monotonía de la función “ingreso”. Sin embargo, se observa una imprecisión al definir el punto crítico.

La Tabla 4 presenta los resultados de la Tarea 2 que contestaron los y las estudiantes de Ingeniería Comercial. Se observa que el 97 % identifica y el 94 % aplica de manera correcta el álgebra de las derivadas. Además, el 89 % identifica y el 78 % aplica correc-tamente las reglas de las derivadas de las funciones elementales. Sin embargo, solo el 44 % aplicó correctamente la derivada en el análisis marginal y tomó la decisión correcta. De acuerdo con estos resultados, las actividades realizadas en el diseño instruccional le permitieron al estudiantado realizar correcta-mente el cálculo de derivadas a partir de re-glas y teoremas de derivación. Sin embargo, se observan dificultades al aplicar la derivada para la toma de decisiones.

La Figura 8 muestra la construcción de la función “costo marginal” que planteó una de las personas, indicando las reglas de las derivadas de las funciones elementales y álgebra de la derivada de manera correcta. Es decir, aplicó la derivada para obtener las funciones de costo e ingreso marginales.

Nota: elaboración propia de la investigación

Figura 7 Justificación de un estudiante sobre el comportamiento de la función “ingreso” y su relación con la gráfica del ingreso marginal 

La Figura 9 muestra la interpretación correcta de la función “costo marginal” e “ingreso marginal”, al evaluarse en q = 10. Al estudiante se le solicita predecir para la unidad número 11, por lo que decide eva-luar en la unidad 10; en otras palabras, el estudiante aplica la derivada en la función de “costo” e “ingreso marginal” y las inter-preta correctamente.

Ahora bien, la Figura 10 expone la jus-tificación correcta en la toma de decisión en torno a la producción de la unidad número 11, para ello cada estudiante utiliza el costo mar-ginal e ingreso marginal evaluado en q = 10.

Nota: elaboración propia de la investigación

Figura 8 Procedimiento de un(a) estudiante para obtener el costo marginal 

Nota: elaboración propia de la investigación

Figura 9 Interpretación de las funciones de “costo” e “ingreso marginal” al evaluar en q = 10 

Nota: elaboración propia de la investigación

Figura 10 Justificación de no producir la unidad número 11 

La Tabla 5 presenta los resultados de la Tarea 3, se observa que el 98 % de la población estudiantil modela correctamente la función “utilidad” y determina su derivada al aplicar las reglas y teoremas de derivación; el 78 % identifica los valores críticos y el 76 %, los intervalos donde U’ (q) > 0 y U’ (q) < 0. Los errores observados son, en su mayoría, aritméticos y de álgebra básica; es decir, conocimientos previos. El 70 % aplica correctamente la derivada para el análisis de la monotonía de la función, sin embargo, solo el 56 % comprende que los valores críticos son posibles extremos y el 53 % que deben ser analizados utilizando el criterio de la primera derivada para extremos relativos. Finalmente, solo el 39 % de los y las estudiantes realizó el bosquejo de la gráfica de la función “utilidad”. Los resultados indican que, si bien el estudiantado aplica la derivada para el cálculo de máximos y mínimos, así como el análisis de gráficas de funciones, se observan limitaciones producto de la complejidad de los objetos matemáticos necesarios para construir la derivada, específicamente la función real, gráfico de funciones reales y ecuaciones.

La Figura 11 muestra la expresión sim-bólica correcta de la función “utilidad” y su derivada; es decir, el o la estudiante compren-de que para optimizar la función “utilidad” requiere trabajar con su función “derivada”.

La Figura 12 muestra la obtención de los valores críticos al resolver la ecuación generada al igualar a cero la derivada de la función “utilidad”. En otras palabras, cada estudiante conoce la definición de puntos críticos y resuelve de forma correcta una ecuación de tercer grado utilizando algebra básica, se debe observar que la función “de-rivada” no presenta discontinuidades.

La Figura 13 presenta la respuesta de un o una estudiante sobre la producción y venta de 1.000.000 para alcanzar la utilidad máxima; es decir, la persona aplica correc-tamente la derivada para optimizar las fun-ciones económicas.

Conclusiones

El objetivo de este artículo fue pre-sentar los resultados de la implementación de un diseño instruccional de enseñanza de la derivada para las futuras personas profe-sionales en ingeniería comercial en Chile.

Nota: elaboración propia de la investigación

Figura 11 Función “utilidad” y su derivada construida correctamente por un(a) estudiante 

Nota: elaboración propia de la investigación

Figura 12 Obtención de los puntos críticos de la función “utilidad” 

Nota: elaboración propia de la investigación

Figura 13 Justificación de la optimización de la función “utilidad” 

Dicho diseño pretendía presentar una cierta complejidad del objeto “derivada”, mediante el estudio de diversas configuraciones de objetos primarios: tangentes, aplicaciones de la derivada para el cálculo de máximos y mínimos, análisis de gráficas de funciones y el cálculo de derivadas a partir de reglas y teoremas de derivación. Además, se incorporó el uso de las TIC en las diversas tareas, lo cual favorece el tratamiento y la conversión entre los lenguajes escrito, numérico, gráfico y simbólico (^{Galindo Illanes et al., 2023}; ^{Galindo Illanes y Breda, 2023b}).

Los resultados evidencian que el estudiantado participó de esa implementación, aunque presentaron algunas limitaciones, tales como la dificultad en el bosquejo de la función “utilidad” o la aplicación de la derivada para la tomada de decisiones; aprendieron la relación entre la tangente a una curva y la interpretación geométrica de la derivada y la aplicación de la derivada en el análisis marginal, lo cual mostró, además, una mejora en la construcción de la concepción cartesiana de la recta tangente.

Esos resultados están directamente relacionados con los aspectos innovadores de esta investigación. El primer aspecto fue la utilización transversal, en toda la unidad didáctica, de recursos TIC (applets, GeoGebra, códigos QR). El segundo corresponde al tiempo dedicado, en la programación, a la interpretación geométrica de la derivada, pues fue esa noción la que le permitió al grupo de estudiantes resolver una mayor diversidad de problemas presentes en la carrera de Ingeniería Comercial, tales como los de optimización.

Además, a partir de la interpretación geométrica de la derivada las personas participantes elaboraron de forma global la construcción del concepto de la derivada. El tercero aspecto se refiere a los problemas de aplicación. En esta investigación se ha trabajado, por ejemplo, gráfica de funciones y optimización de funciones vinculadas al contexto de economía y negocios. Dicho en términos de los criterios de idoneidad didácticos, el diseño puso el énfasis en el criterio epistémico, el mediacional y el ecológico, y los resultados de la implementación muestran que se consiguió, en un grado razonable, el criterio cognitivo, contrario a los criterios que el profesorado de matemáticas de facultades de ingeniería en Perú utiliza (^{Garcés et al. 2021}; ²⁰²²).

En particular, los estudiantes han construido un significado de la derivada con diferentes significados parciales bien conectados, lo cual les permite una cierta competencia para resolver tareas relaciona-das con su profesión.

Una de las limitaciones del estudio fue el tiempo insuficiente destinado al desarrollo de las tareas, dado que las personas participantes no tenían todos los conocimientos previos necesarios para comprender los nuevos conceptos. Por ejemplo, para que el o la estudiante pudiera realizar una tarea sobre la interpretación geométrica de la derivada, fue necesario destinar tiempo para retomar conocimientos sobre funciones. Otra limitación se ha dado por las fallas de conexión con la red de internet, lo cual dificulta la accesibilidad del alumnado al material, ya que debían conectar sus móviles a los códigos QR para accederlos.

Como perspectiva futura, esta investigación muestra que, para una mejor formación de ingenieros e ingenieras comerciales, entendida en términos de que sean competentes en la aplicación de las derivadas a problemas relacionados con su profesión, se hace necesario un cambio en los programas de las asignaturas que incluyen la enseñanza de la derivada; a fin de que contemplen explícitamente una más completa y significativa variabilidad de campos de problema, incorporando la complejidad de la derivada. En particular, su interpretación geométrica, dado que es la noción más utilizada en la Ingeniería Comercial.

En particular la implementación realizada muestra que es posible implementar este tipo de enseñanza de la derivada. Además, se hace necesario un proceso de formación del cuerpo docente encargado de formar a las futuras personas profesionales en esta área , habilitándolos en la enseñanza de los diferentes significados de la derivada, sus distintos campos de problemas, representaciones, procedimientos, argumentos, proposiciones y aplicaciones contextuales junto a los recursos TIC.