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Revista de Matemática Teoría y Aplicaciones

Print version ISSN 1409-2433

Rev. Mat vol.30 n.2 San José Jul./Dec. 2023 


The van der Pol equation: qualitative and numerical study

Ecuación de van der Pol: estudio cualitativo y numérico

Vinícius Justen Pinto1 

Luciana Salgado2 

1Universidade Federal do Rio de Janeiro, Department of Electrical Engineering, Rio de Janeiro, Brasil;

2Universidade Federal do Rio de Janeiro, Department of Mathematics, Rio de Janeiro, Brasil;


This expositive paper aims at the study of nonlinear equations, focused on the van der Pol equation, including deduction, qualitative analysis, and nu- merical examples. The van der Pol equation is deduced using an electrical circuit as a physical model. The qualitative analysis is divided into two parts: the theoretical enunciation and its application. The main theorems used in this study are Poincar'e-Bendixson's and Lyapunov's. The construction of a Lyapunov function is also performed. Finally, a series of numerical ex- amples are graphically presented using computational tools such as Python and Octave. The phase portraits and temporal behavior of the van der Pol equation are exhibited, along with the basin of attraction obtained exper- imentally, compared with the basin of attraction yielded by the Lyapunov function. Therefore, the numerical study provides a visual representation of the results stated in the qualitative analysis.

Keywords: van der Pol equation; Lyapunov function; qualitative analysis; numerical integration.


Este artículo expositivo tiene como objetivo el estudio de ecuaciones no lineales, enfocado en la ecuación de van der Pol, incluyendo deducción, análisis cualitativo y ejemplos numéricos. La ecuación de van der Pol es deducida utilizando un circuito eléctrico como modelo físico. El análisis cualitativo está dividido en dos partes: enunciación teórica y sus aplicaciones. Los teoremas principales usados en este estudio son los de Poincaré-Bendixson y de Lyapunov. Se hace también la construcción de una función de Lyapunov. Finalmente, una serie de ejemplos numéricos son ilustrados gráficamente utilizando herramientas computacionales como Python y Octave. Son exhibidos retratos de fase y comportamientos temporales, así como la cuenca de atracción obtenida experimentalmente, en comparación con la obtenida por la función de Lyapunov. Por consiguiente, el estudio numérico proporciona una representación visual de los resultados determinados en el análisis cualitativo.

Palabras clave: ecuación de van der Pol; función de Lyapunov; análisis cualitativo; integración numérica.


Mathematics Subject Classification: Primary 34C05, 34D20; Secondary 34C23, 34C26

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The authors thank the anonymous referees for reviewing and commenting on our work.


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Received: April 01, 2022; Accepted: April 12, 2023

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