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Introducción
El desarrollo de la reflexión docente sobre la práctica es un aspecto clave en la formación de docentes (Schön, 1987), pues cuando esta reflexión se hace habitual, se puede convertir en un mecanismo importante para mejorar la práctica educativa (Schoenfeld y Kilpatrick, 2008). No obstante, el desarrollo de esta reflexión requiere adoptar marcos conceptuales y metodológicos que permitan estructurarla y guiarla, donde una instancia conveniente es, por ejemplo, cuando se trabaja con el estudio de clases (Huang et al., 2019). Este enfoque se basa en que un grupo de personas docentes y expertas, con un interés compartido en el aprendizaje del estudiantado, se reúnen, planifican una clase y, finalmente, examinan y discuten sus observaciones durante la implementación de dicha clase (Fernández y Yoshida, 2004; Hart et al., 2011; Lewis, 2002).
En España, en línea con otras investigaciones desarrolladas en el contexto iberoamericano, se ha combinado la metodología del estudio de clases con el constructo criterios de idoneidad didáctica (Godino, 2013). Esto se debe a que, si bien el estudio de clases es reconocido como una potente estrategia para el desarrollo profesional docente, aun así, se trata de una metodología muy general y con un bajo nivel teórico (Elliott, 2012). De este modo, el uso de constructos de algún modelo teórico, como los criterios de idoneidad didáctica que propone el enfoque onto-semiótico (Godino et al., 2007), son contenidos por el estudio de clases como un envoltorio o infraestructura, implementándose en los procesos formativos de profesores a nivel inicial y continuo (Font et al., 2023; Franzen, 2022; Sol, Lujambio et al.; entre otros).
En dichas investigaciones, donde se implementa un ciclo de estudio de clases y se enseña el constructo criterios de idoneidad didáctica, se ha puesto de manifiesto la importancia de la argumentación práctica; es decir, aquella en la que se producen a) argumentos cuya conclusión es una acción que se realiza, o b) argumentos sobre acciones consideradas en la discusión, pero que no se realizan (Gómez, 2017). En un ciclo de estudio de clases emergen consensos en la reflexión sobre la práctica (Erbilgin y Arikan, 2021), donde las personas profesores justifican acciones que acuerdan realizar mediante argumentos prácticos, los cuales se respaldan en principios sobre lo que consideran como la opción más conveniente para mejorar dicha práctica (Hummes et al., 2022).
Así, el estudio de la argumentación práctica aporta herramientas para analizar cómo se alcanzan los consensos en el diálogo entre las personas participantes, donde se dan razones a favor y en contra para realizar o no ciertas acciones (Kinach, 2002). Por lo tanto, este tipo de estudios son un buen contexto para investigar sobre el papel que juegan los criterios de idoneidad didáctica en la argumentación práctica de cada docente para justificar la realización (o no) de una acción, en que primero se identifican episodios de argumentación práctica (Lewiński, 2018) en la discusión del grupo y, luego, estos episodios se analizan utilizando modelos de argumentación como referencia teórica (Sol et al., 2022; Sol, Breda et al.; Sol et al., 2025).
Por lo tanto, dada la importancia de la reflexión docente sobre la práctica y de la argumentación práctica en dicha reflexión, en este estudio se planteó la siguiente pregunta de investigación: ¿cuál es el papel de los criterios de idoneidad didáctica en la argumentación práctica de un grupo de personas formadoras de docentes durante la valoración del diseño de una unidad didáctica sobre funciones? Para ello, se reportan los análisis de los argumentos prácticos elaborados por este grupo, quienes participaron de un ciclo de estudio de clases, durante la valoración -utilizando el constructo criterios de idoneidad didáctica- del diseño de una unidad didáctica sobre funciones para estudiantes de educación secundaria (15-16 años). Estos argumentos prácticos emergentes se estructuraron utilizando el modelo de Toulmin (1958/2003) para así caracterizar el papel de este constructo en las estructuras obtenidas de los argumentos.
Referentes teóricos
En esta sección se describen los referentes teóricos considerados en este estudio.
Criterios de idoneidad didáctica
En el enfoque onto-semiótico (EOS), la noción de idoneidad didáctica se considera una herramienta esencial para valorar los procesos de enseñanza y aprendizaje matemáticos (Godino, 2013), la cual corresponde al grado en que las características de estos procesos se pueden considerar como óptimas o adecuadas para lograr una superposición entre los significados personales alcanzados por el estudiantado (aprendizaje) y los significados institucionales pretendidos o implementados por una persona docente (enseñanza), considerando las circunstancias y recursos disponibles (entorno) (Godino et al., 2019). De este modo, dado un tema específico para enseñar en un determinado contexto educativo, la noción de idoneidad didáctica permite responder, entre otros aspectos, a la pregunta: ¿qué cambios se deberían realizar en el diseño e implementación de un proceso de enseñanza y aprendizaje matemático para aumentar su idoneidad didáctica en el futuro? La respuesta a esta pregunta, algunas veces, incluye acciones que el profesor o la profesora debe o propone hacer, las cuales forman parte del interés de este estudio.
Así, esta noción se materializa en un constructo multidimensional que consiste en seis criterios de idoneidad didáctica (CID), cuya operatividad se concretiza en componentes para cada criterio y en indicadores para cada componente. De este modo, un proceso de enseñanza y aprendizaje matemático alcanzará un alto grado de idoneidad didáctica si es capaz de articular, de manera coherente y sistemática, los seis CID, referidos a cada una de las dimensiones que intervienen en estos procesos.
En este estudio, se utiliza la pauta de CID que propone Breda et al. (2017), la cual, a su vez, es una adaptación de la pauta de Godino (2013) para usar en los procesos formativos del futuro profesorado de matemática de educación secundaria (por ejemplo, Ledezma et al., 2024; Sánchez et al., 2022; entre otros), así como también en el caso reportado en esta investigación. En la Tabla 1 se presenta la descripción y los componentes de cada CID.
Breda et al. (2017) presentan rúbricas con indicadores para cada uno de los componentes de la Tabla 1, como los indicadores de los componentes del criterio epistémico expuestos en la Tabla 2.
Tabla 1 Criterios de idoneidad didáctica y sus componentes
| Criterios | Descripción | Componentes |
|---|---|---|
| Epistémico | Para valorar si la matemática que se enseña es una matemática de buena calidad. | -Errores. -Ambigüedades. -Riqueza de procesos. -Representatividad de la complejidad del objeto matemático. |
| Cognitivo | Para valorar, antes de iniciar el proceso de enseñanza y aprendizaje, si el tema a enseñar está adaptado a lo que el estudiantado ya sabe y, después de este proceso, si el aprendizaje alcanzado está cerca de lo que se pretendía. | -Conocimientos previos. -Adaptaciones curriculares a las diferencias individuales. -Aprendizaje. -Alta demanda cognitiva. |
| Interaccional | Para valorar si la interacción re o dificultades del alumnado. | -Interacción docente-discente. -Interacción entre discentes. -Autonomía. -Evaluación formativa. |
| Mediacional | Para valorar la adecuación de lo materiales y temporales usados de enseñanza y aprendizaje. | -Recursos materiales. -Número de estudiantes, horario y condiciones de aula. - Tiempo. |
| Afectivo | Para valorar el involucramiento estudiantil (intereses y motivaci proceso de enseñanza y aprendi | -Intereses y necesidades. -Actitudes. - Emociones. |
| Ecológico | Para valorar la adaptación del p enseñanza y aprendizaje al proy escolar, las directrices curricula condiciones del entorno social etc. | -Adaptación al currículo. -Conexiones intra- e interdisciplinarias. -Utilidad sociolaboral. -Innovación didáctica. |
Nota. Adaptado desde Ledezma et al. (2024, p. 7).
Tabla 2 Componentes del criterio epistémico y sus indicadores
| Componentes | Indicadores |
|---|---|
| Errores | -No se observan práctica matemático. |
| Ambigüedades | -No se observan ambigüedades que puedan llevar a confusión al estudiantado; definiciones y procedimientos clara y correctamente enunciados, adaptados al nivel educativo al que se dirigen; adecuación de las explicaciones, comprobaciones y demostraciones al nivel educativo al que se dirigen; uso controlado de metáforas, etc. |
| Riqueza de procesos | -La secuencia de tareas contempla la realización de procesos relevantes en la actividad matemática (modelización, argumentación, conexiones, etc.). |
| Representatividad de la complejidad del objeto matemático | - Los significados parciales (definiciones, propiedades, procedimientos, etc.) son una muestra representativa de la complejidad de la noción matemática que se quiere enseñar teniendo en cuenta el nivel educativo. - Para uno o varios significados parciales, se ofrece una muestra representativa de problemas. - Para uno o varios significados parciales, se usan diferentes modos de expresión (verbal, gráfico, simbólico…) y conversiones entre los mismos. |
Nota. Adaptado desde Breda et al. (2017, p. 1903; traducción propia).
Los CID representan una pauta (con criterios, componentes e indicadores) que se desarrolló según las tendencias contemporáneas en la enseñanza de la matemática, los principios del National Council of Teachers of Mathematics (NCTM, 2000) y los hallazgos de la investigación en didáctica de la matemática, los cuales son ampliamente aceptados por la comunidad profesional (Breda et al., 2018). Por ejemplo, el criterio epistémico considera el siguiente hallazgo: los objetos matemáticos emergen de las prácticas matemáticas, lo que conlleva su complejidad (Font et al., 2013). A partir de este hallazgo, se deriva el componente representatividad de la complejidad del objeto matemático e implica guiar a los y las docentes para que consideren la complejidad matemática de la noción a enseñar cuando diseñen secuencias didácticas.
Argumentación práctica
La argumentación práctica la define Lewiński (2018) como ''la argumentación destinada a decidir un curso de acción'' (p. 219, traducción propia) y, de manera similar, Gómez (2017) la entiende como aquello que sucede en contextos sociales y que se orienta a escoger una acción para resolver un problema práctico. La argumentación práctica emerge de las prácticas didácticas, lo cual genera acciones planificadas o ejecutadas en el aula y permite responder preguntas como las siguientes: ¿cómo justifica a la elección de la acción b ante una situación c?, donde a es el nombre o la descripción de un agente, b es la acción, y c es la descripción de una situación problemática donde puede haber varias opciones posibles para realizar. Lewiński (2018) y Gómez (2017) coinciden en que debe existir la elección de una acción y la argumentación explícita o implícita para esta elección, lo cual no sucede cuando solo se afirma si algo es verdadero o falso (como en la argumentación matemática).
El modelo de Toulmin (1958/2003), aunque no fue pensado específicamente para el análisis de la argumentación práctica, también se puede aplicar a este tipo de argumentación. De acuerdo con este autor, un argumento se compone de los siguientes elementos:
Premisas: enunciados que se buscan validar.
Datos: información en la cual se basa la premisa o conclusión.
Garantías: proposiciones (reglas, principios o enunciados) que permiten realizar inferencias y que conectan los datos con la premisa.
Refutaciones: circunstancias en las que la garantía es inválida.
Calificadores modales: enunciados que indican el grado de fuerza de la garantía en la relación entre datos y premisa, con palabras como ''necesariamente'', ''probablemente'', ''generalmente'', ''casi'', ''quizás'', etc.
Respaldos: justificaciones que respaldan las garantías. Estos respaldos pueden ser: 1) conocimiento generado mediante la propia práctica docente, lo cual Fenstermacher y Richardson (1993) llaman premisa empírica o 2) conocimiento científico, lo cual Fenstermacher y Richardson (1993) denominan premisa estipulativa.
Metodología
En este estudio, se siguió una metodología de investigación cualitativa desde un paradigma interpretativo (Cohen et al., 2018), que consiste en un estudio de caso intrínseco (Stake, 2005), donde se analizaron los episodios de argumentación práctica de un grupo de personas formadoras de docentes de matemática durante un ciclo de estudio de clases (EC).
Contexto de la investigación
Esta investigación se desarrolló en el contexto de un ciclo de EC, donde uno de sus objetivos fue identificar evidencias del uso de los CID en la argumentación práctica de las personas participantes. Si bien existen diferentes modelos para el enfoque EC, todos incluyen las siguientes etapas, las cuales se siguieron -con ligeras modificaciones- en esta investigación (Lim-Ratnam, 2013):
Definición del problema, elección de un contenido matemático, estudio de su abordaje curricular y establecimiento de los objetivos de aprendizaje.
Planificación de la clase.
Implementación y observación de la clase, se registra el impacto de la planificación sobre el aprendizaje de los y las estudiantes y se recolectan los datos mediante la observación.
Reflexión conjunta sobre los datos registrados.
En este ciclo de EC, el contenido matemático elegido fue el de funciones para estudiantes de cuarto año de Educación Secundaria Obligatoria (ESO) (15-16 años), y el abordaje curricular se basó en las directrices del Departamento de Educación de Cataluña (España).
Este ciclo se implementó durante el período octubre/2022-marzo/2023 y constó de 17 sesiones, con una duración aproximada de dos horas cada una. Si bien todas las sesiones del ciclo de EC se desarrollaron de manera presencial, igualmente se decidió grabarlas mediante en la plataforma Microsoft Teams® proporcionada por la universidad. En esta plataforma, todas las personas participantes se conectaron a una reunión y, de este modo, se registraron sus intervenciones como videograbaciones. Todas las personas formadoras de docentes participaron de forma voluntaria en este ciclo de EC y en esta investigación, previo consentimiento informado.
Participantes del estudio de clases
Las personas participantes de este ciclo de EC fueron ocho formadores de docentes de matemática y su composición (incluidas sus iniciales) fue la siguiente:
Tres docentes de nivel universitario a tiempo completo expertos en los CID (AB, GS y VF).
Una profesora visitante experta en EC (AR).
Tres estudiantes de doctorado/profesores asociados (AC, NI y TS).
Una profesora asociada/profesora de matemática de ESO (AS).
Todas las personas participantes ya estaban familiarizados con el uso de los CID antes de iniciar el ciclo de EC; además, con excepción de la profesora visitante, todas se encontraban vinculadas al Departamento de Educación Lingüística, Científica y Matemática de la Universidad de Barcelona (España); la experiencia en docencia de la matemática de las personas participantes fluctuaba entre algunos meses y los 25 años; y cuatro de ellas ya habían formado parte previamente en otros ciclos de EC.
Diseño y valoración de la unidad didáctica
La unidad didáctica (UD) se diseñó para implementarse en un instituto de educación secundaria de la provincia de Barcelona (España), con estudiantes de cuarto año de ESO (15-16 años), a cargo de la profesora AS (participante del ciclo de EC). De este modo, durante la primera etapa del ciclo de EC, se planificó conjuntamente la UD, estructurándola en cuatro sesiones,de una hora cada una, destinadas a implementarse en una semana, como se muestra a continuación:
Sesión 1: repaso de los conocimientos previos del estudiantado.
Sesión 2: definición del concepto de función.
Sesión 3: características de las funciones.
Sesión 4: actividad de experimentación y cierre.
Los contenidos para trabajar fueron la definición de función, variable dependiente e independiente, domino y recorrido, trata-miento y conversión entre representaciones de una función, crecimiento, decrecimiento, etc. Todo lo anterior se encontraba supedi-tado por los objetivos de aprendizaje plan-teados por las directrices curriculares del Departamento de Educación de Cataluña (España).
Junto con la UD antes descrita, también se diseñó un dosier para el grupo de estudiantes que incluyó una actividad inicial, enfocada en revisar los conocimientos previos mediante la ubicación de puntos en el plano cartesiano (Figura 1), y nueve actividades para trabajar durante las sesiones.
En este artículo, se reporta la valoración de las personas participantes, utilizando el constructo CID, del diseño de la UD antes descrita. Este diseño incluyó la planificación de la profesora y las actividades del dosier para el estudiantado, cuya valoración se realizó durante dos sesiones del ciclo de EC (15 y 16), como se detalla a continuación (Breda et al., 2023, p. 195):
Sesión 15: valoración de la UD utilizando los componentes e indicadores de los criterios epistémico y cognitivo.
Sesión 16: valoración de la UD utilizando los componentes e indicadores de los criterios interaccional, mediacional, afectivo y ecológico.
Para la valoración de la UD, se les pidió a las personas participantes que, previo a la sesión 15, la valoraran individualmente utilizando los criterios y componentes de los CID. Así, durante las sesiones 15 y 16, cada participante presentó sus valoraciones de la UD y los demás las comentaron, expresando su acuerdo o desacuerdo y, de ser necesario, añadiendo información adicional. Para ello, se elaboró una tabla en donde se escribió la valoración consensuada por el grupo del ciclo de EC, según la siguiente estructura: las primeras dos columnas incluyeron los criterios y componentes de los CID, respectivamente; en la tercera, se indicaron los elementos que favorecían la idoneidad didáctica de la UD; en la cuarta columna, los elementos que la disminuían; y en la última, se propusieron elementos para mejorar la idoneidad didáctica de la UD. A modo de ejemplo, se presenta un fragmento de la valoración consensuada con los componentes de los criterios mediacional (Tabla 3) y cognitivo (Tabla 4).
Tabla 3 Fragmento de la valoración consensuada de la UD con los componentes del criterio mediacional
| Componentes | Elementos que favorecen la idoneidad didáctica | Elementos que disminuyen la idoneidad didáctica | Propuestas de mejora para la UD |
|---|---|---|---|
| Recursos materiales | Durante la etapa de diseño, se realizó una sesión para revisar los recursos utilizados. (GeoGebra para graficar puntos, uso de calculadora, interMatia, muelles, etc.). | No se identifican elementos que disminuyen el grado de idoneidad de este componente. | La valoración de este componente es positiva y no se proponen cambios. |
| Número de estudiantes, horario y condiciones de aula | En el diseño, se consideró que el número de estudiantes, las condiciones del aula y el horario eran adecuados. También, la participante AS hizo una descripción del contexto. | Se sabe que la clase es después del descanso de los y las estudiantes y que se invierte entre 5 y 10 minutos de la clase para que se sienten. | La valoración de este componente es positiva y no se proponen cambios. |
| Tiempo | La UD se distribuye en cuatro sesiones. El tiempo no tiene una distribución más allá de estas sesiones y se dedica exclusivamente al tema de función. | No se observa una asignación de tiempo aproximado para las actividades; tampoco, una distribución aproximada de las sesiones en iniciodesarrollo-cierre. | Para aprovechar mejor el tiempo en el aula, se deben asignar tiempos aproximados a las actividades que se realizarán en cada sesión y estructurar las sesiones en inicio-desarrollo-cierre, aunque los tiempos no se vayan a cumplir en la implementación. |
Nota. Elaborado por el grupo de EC.
Tabla 4 Fragmento de la valoración consensuada de la UD con los componentes del criterio cognitivo
| Componentes | Elementos que favorecen la idoneidad didáctica | Elementos que disminuyen la idoneidad didáctica | Propuestas de mejora para la UD |
|---|---|---|---|
| Conocimientos previos | La UD contiene actividades para valorar y trabajar los conocimientos previos del estudiantado. | No se identifican elementos que disminuyen el grado de idoneidad de este componente. | La valoración de este componente es positiva y no se proponen cambios. |
| Adaptación curricular a las diferencias individuales | En el diseño, se consideraron las características de cada estudiante y se decidió que la UD fuera prácticamente una unidad de refuerzo. | No hay actividades que trabajen la diversidad en el aula. | Para aumentar el grado de idoneidad de este componente, la profesora puede organizar los grupos de trabajo en la clase para que sean heterogéneos. |
| Aprendizaje | La UD contiene varios elementos que permiten valorar el aprendizaje del grupo de estudiantes. | No se identifican elementos que disminuyen el grado de idoneidad de este componente. | La valoración de este componente es positiva y no se proponen cambios. |
| Alta demanda cognitiva | Las tareas propuestas en la UD exigían una demanda cognitiva elevada. | No se exigía un nivel máximo de demanda cognitiva, al no desarrollarse generalizaciones ni procesos metacognitivos. | La demanda cognitiva de la UD es razonable para este grupo y no es necesario realizar modificaciones para este componente. |
Nota. Elaborado por el grupo de EC.
Análisis de datos
El análisis de los datos se desarrolló considerando las videograbaciones de las dos sesiones de valoración (15 y 16) del diseño de la UD. Para ello, se transcribieron los diálogos de estas videograbaciones y se dividieron en segmentos; cada segmento correspondió a las valoraciones de la UD que hicieron las personas participantes del ciclo de EC a partir de cada uno de los componentes de los CID (Tabla 1). De este modo, se generaron 22 segmentos entre las dos videograbaciones. Luego, en cada uno de estos segmentos, se identificaron los episodios de argumentación práctica donde quienes participaron propusieron acciones para aumentar el grado de idoneidad de la UD con respecto al componente en el que se basaba dicho segmento. Los argumentos prácticos de otro tipo, como aquellos relacionados con decidir cómo realizar la valoración de la UD, no fueron considerados.
De este modo, se identificaron ocho argumentos prácticos en los 22 segmentos.
La identificación y el análisis de los argumentos prácticos se realizaron a partir del siguiente procedimiento:
Primero, se buscaron los argumentos prácticos en la discusión, donde se identificaron el dato, la garantía y la premisa de estos argumentos. Para ello, se tuvo en cuenta la presencia de palabras; por ejemplo, ''por lo tanto'', ''entonces'', ''si'', ''a menos que'', entre otras, que indicaran la existencia de argumentos. Además, la premisa debía incluir la sugerencia de una acción como qué cambios hacer en la UD, alguna recomendación para la profesora durante la clase o cómo actuar con los y las estudiantes ante una determinada situación.
Segundo, estos argumentos prácticos se estructuraron según el modelo de Toulmin de la siguiente manera: en la discusión, se identificó el dato (algo que se puede mejorar de la UD o alguna información del contexto) y la premisa (acción propuesta para mejorar el proceso de enseñanza y aprendizaje); luego, se planteó una garantía (muchas veces, implícita en el discurso) con sus calificadores modales (palabras como ''posiblemente'', ''seguramente'' o ''quizás''); después, se buscaron los respaldos para esta garantía y, finalmente, se investigaron las refutaciones.
Tercero, cada argumento se analizó para establecer su relación con los CID, pues algunos argumentos generados en la valoración del componente de un determinado criterio evocaron otros componentes que no pertenecían, necesariamente, al mismo criterio que se estaba valorando.
Tomando como ejemplo el fragmento de diálogo presentado y analizado en la siguiente sección, se acordó que la intervención de VF en la línea 04 daba cuenta de un argumento práctico al identificar una acción para modificar el dosier del estudiantado, siendo esta acción la premisa del argumento práctico: cambiar el texto donde se define el sistema cartesiano por el texto donde se da un procedimiento para dibujar el sistema cartesiano. Con el objetivo de llegar a esta premisa, los datos se obtuvieron de la línea 01, cuando NI identificó una ambigüedad en el dosier para el estudiantado (dato 1) y consideró que se debió haber puesto otro ejemplo (dato 2), y de la línea 02, cuando VF dijo que faltaba en el dosier la palabra ''normalmente'' o ''habitualmente'' cuando se definía el sistema de coordenadas cartesianas (dato 3).
Para proponer la garantía de este argumento, se tuvo en cuenta que la propuesta de modificar el texto donde se define el sistema cartesiano tuvo por objetivo evitar la ambigüedad identificada; por lo tanto, la garantía propuesta fue: ''Debemos intentar controlar la ambigüedad''. Para esta garantía, se identificaron dos respaldos: 1) la experiencia del participante VF, que es una premisa empírica y 2) la valoración dentro del componente ambigüedades del criterio epistémico, que es una premisa estipulativa.
Análisis y resultados
En esta sección, se presentan y analizan las valoraciones de la UD que realiza el estudiantado participante del ciclo de EC utilizando los componentes de los CID. Para ello, en cada subsección, se presentan los argumentos prácticos identificados en el diálogo y se estructuran utilizando el modelo de Toulmin. Por cuestiones de espacio, solo se presenta un extracto del diálogo para el primer argumento práctico identificado en la valoración de la UD con el componente ambigüedades del criterio epistémico y, para las valoraciones con los demás componentes, solo se describe y muestra la estructura del argumento práctico identificado.
Valoración de la UD con los componentes del criterio epistémico
La valoración con el componente errores fue positiva pues, al revisar el contenido matemático, las personas participantes comentaron que no encontraron errores. Una de ellas comentó ''están bien cuidados los errores'' y los demás estuvieron de acuerdo. Al ser el primer componente con el que se valoró la UD, acordaron cómo utilizar los CID para desarrollar esta valoración.
La valoración con el componente ambigüedades también fue positiva. Si bien solo una persona comentó ''en la planificación, procuramos evitar ambigüedades'', identificaron una ambigüedad en la UD, ante lo cual propusieron una modificación para evitarla. La ambigüedad que observaron tuvo relación con la identificación de los ejes de coordenadas con un eje horizontal y vertical, y la propuesta para evitarla fue cambiar la definición del sistema de ejes de coordenadas en la UD por la descripción del procedimiento para dibujar un sistema de ejes de coordenadas (Sol, Breda, Font y Sala-Sebastià, 2024).
A continuación, se presenta un extracto del diálogo donde las personas participantes, mientras valoraban la UD con el componente ambigüedades, identificaron la ambigüedad antes descrita y propusieron una acción para controlarla.
NI: Quizás, sí que hemos cometido una ambigüedad, porque en el texto (dosier para los estudiantes) dice ''el sistema de coordenadas cartesianas está formado por dos ejes perpendiculares entre sí formando un plano, el plano XY. El eje de abscisas es el eje horizontal (…)'' que, igual, hace referencia al gráfico (que está en el dosier), pero, entonces, yo creo que deberíamos haber puesto, al menos, otro (gráfico) en el cual los ejes no sean horizontal y vertical. Es decir, que no coincida para que (los estudiantes) puedan visualizar, al menos, un caso en que la perpendicularidad no sea de esta forma. (…). Yo pondría ''normalmente'', como en esta figura, pero yo sí que, de alguna manera, y más en el dosier (para los estudiantes) que está por escrito, diría que hay posibilidad de que no sea así, sólo por si algún día, de mayores, (los estudiantes) se lo miran. VF: Sí, pero no veo problema que diga vertical y horizontal, puedes poner ''normalmente'' o ''habitualmente'', lo que noto a faltar, porque también luego todos van a ser horizontales y todos van a ser verticales, simplemente es esto. Creo que hemos hecho una discusión interesante con estos matices. Entonces, podríamos refinar un poco el texto, en el rediseño, podemos refinar este texto, (el sistema cartesiano de ejes de coordenadas) está formado por dos ejes perpendiculares formando un plano. El eje de abscisas es normalmente el eje horizontal, o algo así. AB: Sí y, por ejemplo, en el documento anterior, estaba escrito ''el procedimiento para dibujar un sistema de ejes cartesiano'', no se definía el sistema de ejes cartesiano, se proponía un procedimiento para dibujar el sistema de ejes cartesianos y que había que tener varios pasos (…). VF: Bueno, entonces, una conclusión sería cambiar el texto que hay por este texto (el del procedimiento para construir un sistema de coordenadas).
En la Figura 2 se presenta la estructura del argumento práctico obtenido del diá logo anterior.
En relación con el argumento práctico de la Figura 2, el respaldo 1 es de tipo experiencial (premisa empírica) y el respaldo 2 es de tipo conocimiento (premisa estipulativa) que se aplica de dos formas: primero, para generar el dato 1, identificando una ambigüedad, y segundo, para generar la ga rantía del tipo se debe hacer. De lo anterior, se tiene que el componente ambigüedades presenta tres funciones en este argumento: la primera es que se utiliza como respaldo de tipo conocimiento, la segunda es que se utiliza para identificar un dato y la tercera es que se genera una garantía específica para proponer una acción en la premisa.
Nota. Elaboración de los autores
Figura 2 Argumento práctico en la valoración con el componente Ambigüedades
Durante la valoración con el componente ambigüedades, las personas participantes también hicieron otros comentarios, por ejemplo, sobre las ambigüedades generadas por los enunciados de las tareas. Una de las personas participantes afirmó: ''Todos los enunciados tienen una cierta imprecisión porque, si no quieres que sea impreciso, vas a tener que hacer un enunciado larguísimo'', con la finalidad de señalar que es difícil evitar las ambigüedades en los enunciados de las tareas. Otra de las personas participante argumentó a favor de plantear tareas abiertas con una cierta imprecisión para facilitar la realización de procesos matemáticos relevantes. En este diálogo, se observó que interpretaron de manera diferente la noción de ambigüedad, pero la discusión no continuó en esta dirección.
En la valoración con el componente riqueza de procesos, las personas participantes comentaron algunos elementos de los ejercicios propuestos en la UD que favorecieron el grado de idoneidad de este componente, como la argumentación, la contextualización y las conversiones y el tratamiento de representaciones. Entre los comentarios se destacan los siguientes: ''hay un nivel razonable de procesos'', ''la riqueza de procesos, si la tuviera que valorar sobre diez, no pasaría de siete'' y ''el nivel de riqueza de procesos es suficiente''. Considerando que la valoración de la idoneidad de este componente no fue alta, un participante planteó la posibilidad de hacer una modificación para un rediseño de la UD, a partir de la cual se estructuró el argumento práctico que se presenta en la Figura 3.
En la refutación del argumento de la Figura 3, se puede observar cómo los componentes tiempo y alta demanda cognitiva de los criterios mediacional y cognitivo respectivamente, restringen el grado de idoneidad del componente riqueza de procesos Esto se debe a que los CID se plantean como criterios dependientes e interrelacionados.
Nota. Elaboración propia.
Figura 3 Argumento práctico en la valoración con el componente Riqueza de procesos
En la valoración con el componente representatividad de la complejidad del objeto matemático, las personas participantes comentaron que este se cuidó en el dise ño de la UD, al considerar aspectos como los diferentes significados de una función (relación entre magnitudes, relación entre variables y subconjunto del producto car tesiano) y la buena representatividad en las representaciones de una función (lenguaje natural, simbólico, tabular, gráfico). Entre los comentarios de las personas participantes se destacan los siguientes: ''esta sí que la cuidamos un poco, tuvimos en cuenta los diferentes significados que puede tener una función'' y ''también, cuidamos tener una representatividad de las representaciones''. Dado que acordaron rápidamente una buena valoración para este componente, concluyeron que no era necesario realizar modificaciones en la UD con relación a este componente.
Valoración de la UD con los componentes del criterio cognitivo
En la valoración con el componente conocimientos previos, las personas participantes se refirieron a tareas desarrolladas durante la segunda fase del ciclo de EC (diseño de la UD), como la reflexión realizada durante dos sesiones sobre los temas que ya se les habían enseñado al estudiantado en clases anteriores y la elaboración de un cuestionario para realizar una evaluación diagnóstica de los conocimientos previos en la primera sesión de la UD. Entre los comentarios de las personas participantes, se destacan los siguientes: ''la actividad inicial sirve para revisar los conocimientos previos de una manera adecuada'' y ''los hemos cuidado bastante''. Dado que acordaron rápidamente una buena valoración para este componente, concluyeron que no era nece sario realizar modificaciones en la UD en relación con este componente, en particular, en el cuestionario previamente diseñado.
En la valoración con el componente adaptación curricular a las diferencias individuales, una participante comentó que había una pregunta de ampliación en una actividad, ante lo cual, otro participante dijo que no era suficiente para afirmar que se hizo un tratamiento a la diversidad. Otros participantes comentaron que el tra tamiento a la diversidad estaba dado por las características del grupo, pues algunas personas estudiantes estaban en aulas de acogida y otros en grupos de refuerzo de matemática. Por lo tanto, concluyeron que no era necesario realizar modificaciones en la UD para mejorar el tratamiento a la di versidad, pero sí que podían hacerlas en la organización de los grupos de estudiantes para que su composición fuese heterogé nea, atendiendo al máximo posible la di versidad presente en el aula (entre otros, género, perfil y actitud de los y las estu diantes). A partir de la reflexión anterior, surgió una propuesta para el tratamiento a la diversidad, la cual se estructuró en el argumento práctico de la Figura 4.
Nota. Elaboración propia
Figura 4 Argumento práctico en la valoración con el componente Adaptación curricular a las diferencias individuales.
En la valoración con el componente aprendizaje, un participante comentó ''se tienen bastantes elementos para ir valorando el aprendizaje de los estudiantes''. Así, se concluyó que el diseño de la UD permitía tener evidencias del aprendizaje del estudiantado durante su implementación, como las tareas con rúbrica de evaluación, el cuestionario de conocimientos previos y el acceso a la aplicación interMatia (https://www.intermatia.com) para que resolvieran ejercicios de manera interactiva.
En la valoración con el componente alta demanda cognitiva, las personas participantes comentaron que, si bien las tareas exigían una demanda cognitiva elevada, no se pedía un nivel máximo, al no desarrollarse generalizaciones ni procesos metacognitivos en la mayoría de las tareas. Dado que las personas participantes valoraron que la demanda cognitiva de la UD era razonable para este grupo de estudiantes, pues algunas tareas promovieron la deducción de una fórmula y otras el establecimiento de conjeturas, concluyeron que no era necesario modificar la UD en relación con este componente.
Valoración de la UD con los componentes del criterio interaccional
En la valoración con el componente interacción docente-discente, una participante comentó que la UD se diseñó para que las personas estudiantes trabajaran en equipo y que la profesora las invitara a opinar. Además, durante la segunda fase del ciclo de EC (diseño de la UD), la participante AS, quien había trabajado con el grupo, describió el contexto de la clase donde uno de los aspectos contemplados fue la interacción entre profesora y estudiantes.
En la valoración con el componente interacción entre discentes, un participante comentó que en la UD se buscó fomentar el diálogo entre todo el grupo a través de actividades diseñadas para el trabajo en equipo. Además, como ya conocían el contexto de la clase, la participante AS mencionó que los y las estudiantes solían discutir las actividades.
En la valoración con el componente autonomía, una participante comentó que este se tuvo en cuenta al diseñar las actividades para que fuesen dirigidas por la profesora en lugar de no guiadas, porque sabían de la poca autonomía de las personas estudiantes.
comentó que, al finalizar el diseño de la UD, se realizó una sesión para revisar los recursos considerados (GeoGebra, calculadora, interMatia, muelles, etc.). Este comentario, se interpreta como una valoración positiva para este componente.
En la valoración con el componente número de estudiantes, horario y condiciones de aula, las personas participantes comentaron que los tres aspectos de este componente se tuvieron en cuenta durante el diseño de la UD. La participante AS, que conocía al grupo de estudiantes, explicó estos aspectos cuando contextualizó el curso, al mencionar que la clase de matemática era después del descanso y que esto provocaba una pérdida de tiempo al inicio, pues se debía esperar a que todas las personas se sentaran.
En la valoración con el componente tiempo, algunas de las personas participantes comentaron que no hubo una distribución del tiempo de la clase durante la etapa de diseño de la UD. Si bien se consideró distribuir cada sesión en inicio-desarrollo-cierre con un tiempo aproximado para cada parte, esta distribución no se llevó a cabo. A partir de la reflexión anterior, surgió una propuesta para ajustar los tiempos, la cual se estructuró en el argumento práctico de la Figura 5.
En la valoración con el componente evaluación formativa, comentaron que la UD incluía diferentes elementos que permitieron evaluar el aprendizaje de las personas estudiantes, como hojas de trabajo para las actividades y preguntas planteadas por la profesora.
Valoración de la UD con los componentes del criterio mediacional
En la valoración con el componente recursos materiales, un participante comentó que, al finalizar el diseño de la UD, se realizó una sesión para revisar los recursos considerados (GeoGebra, calculadora, interMatia, muelles, etc.). Este comentario, se interpreta como una valoración positiva para este componente.
En la valoración con el componente número de estudiantes, horario y condiciones de aula, las personas participantes comentaron que los tres aspectos de este componente se tuvieron en cuenta durante el diseño de la UD. La participante AS, que conocía al grupo de estudiantes, explicó estos aspectos cuando contextualizó el curso, al mencionar que la clase de matemática era después del descanso y que esto provocaba una pérdida de tiempo al inicio, pues se debía esperar a que todas las personas se sentaran.
En la valoración con el componente tiempo, algunas de las personas participantes comentaron que no hubo una distribución del tiempo de la clase durante la etapa de diseño de la UD. Si bien se consideró distribuir cada sesión en inicio-desarrollo-cierre con un tiempo aproximado para cada parte, esta distribución no se llevó a cabo. A partir de la reflexión anterior, surgió una propuesta para ajustar los tiempos, la cual se estructuró en el argumento práctico de la Figura 5.
Valoración de la UD con los componentes del criterio afectivo
En la valoración con el componente intereses y necesidades, las personas participantes comentaron sobre la importancia de presentar ejercicios contextualizados en la UD, el hecho de que los ejercicios diseñados fueron resueltos antes de presentarse al estudiantado, y que se supuso que serían de su interés. Además, recordaron que este componente se discutió a detalle durante la fase de diseño de la UD. Finalmente, las personas participantes comentaron que al di señar las actividades teniendo en cuenta los conocimientos previos del estudiantado, se logró alcanzar un alto grado de idoneidad didáctica en este componente; como se explicó en la valoración en subsecciones anteriores.
En la valoración con el componente actitudes, un participante comentó que las actividades de la UD buscaron favorecer la argumentación y la reflexión de las personas estudiantes.
Ahora bien, en la valoración con el componente emociones, un participante comentó que las actividades contemplaban ejercicios que las personas pudieran re solver para que no se sintieran superados, esto con el objetivo de evitar el rechazo a la matemática.
Valoración de la UD con los componentes del criterio ecológico
En la valoración con el componente adaptación al currículo, un participante comentó que este aspecto fue claro y que hubo un análisis profundo de las competencias del nuevo currículum de ESO. Para ello, las personas participantes realizaron sesiones donde analizaron todas las competencias y las relacionaron con las actividades del material para sus estudiantes. Dado que acordaron rápidamente una buena valoración para este componente, concluyeron que no era necesario realizar modificaciones en la UD en relación con este componente.
En la valoración con el componente conexiones intra e interdisciplinarias, un participante comentó que se hicieron pocas conexiones, al señalar que hubo una con la vida cotidiana de las personas estudiantes, alguna con la física, y una conexión muy débil con otros conocimientos matemáticos. También, mencionó que, si bien las conexiones extramatemáticas sí se trabajaron, las intramatemáticas fueron muy pocas (relaciones entre las diferentes representaciones de una función) y de escasa profundidad. A pesar de esta valoración, las personas participantes no hicieron propuestas de cambios para la UD en este componente.
En la valoración con el componente utilidad sociolaboral, un participante comentó que este aspecto estuvo contemplado porque los contenidos de matemática en la ESO son útiles para cualquier individuo, pero que para esta UD no se dio un especial énfasis en dicha utilidad. Además, otra participante comentó que el contexto fue una excusa para trabajar el contenido de funciones. Por último, otro participante afir mó que, durante el diseño de la UD, habían atribuido más importancia a introducir la complejidad de las funciones para trabajar el componente representatividad de la complejidad del objeto matemático, razón por la cual no se profundizó en otros componentes como el de utilidad sociolaboral. A pesar de esta valoración, las personas participantes no hicieron propuestas de cambios para la UD en este componente.
En la valoración con el componente innovación didáctica, las personas participantes comentaron que este aspecto se abor dó, fundamentalmente, porque la UD se de sarrolló en un ciclo de EC y hubo un intento de adaptarla a las competencias del nuevo currículo. A partir de la reflexión anterior, surgió una propuesta para trabajar con mayor profundidad las competencias del nuevo currículo, la cual se estructuró en el argumento práctico de la Figura 6.
Discusión y conclusiones
Este artículo se centró en el análisis de los argumentos prácticos elaborados por un grupo de personas formadoras de profesores de matemática, quienes participaron de un ciclo de EC, durante la valoración -utilizando el constructo CID- del diseño de una UD sobre funciones para estudiantes de educación secundaria. En particular, se identificaron los argumentos prácticos emergente de la valoración de la UD con cada componente de los CID, y luego se estructuraron con el modelo de Toulmin (1958/2003), para así caracterizar el papel de los CID en las estructuras obtenidas de los argumentos.
El primer resultado para destacar de este estudio se relacionó con la valoración de la UD guiada por los componentes de los CID. Dicha valoración, no solo permitió identificar los aspectos que favorecían el proceso de enseñanza y aprendizaje de las funciones en el nivel de ESO, sino también aquellos que requerían mejoras. Cuando el grupo de participantes valoró la UD con los componentes de los CID e identificó posibles aspectos a mejorar, buscando aumentar la idoneidad didáctica de la UD, formularon argumentos prácticos para proponer dichos cambios. Este aspecto puede explicarse porque los CID y sus respectivos componentes, constructos para orientar la reflexión sobre la práctica docente (Breda et al., 2017; 2018), fueron el punto de partida y el elemento direccionador de la práctica reflexiva del grupo de formadores de profesores participantes del estudio.
Así, el uso de los CID atiende a la demanda que plantea Burgos y Castillo (2021) sobre la necesidad de que la formación docente aporte herramientas para la valoración y el análisis crítico de los recursos educativos, lo cual se manifestó cuando estas autoras identificaron en su estudio que algunas de valoraciones de futuros profesores de educación primaria participantes en su estudio eran imprecisas o ambiguas.
El segundo resultado para destacar de este estudio se vinculó con la incidencia de los CID en la estructura de los argumentos prácticos según el modelo de Toulmin. En primer lugar, los componentes de los CID se utilizaron para identificar elementos de la UD que funcionaron como datos en los argumentos; en segundo lugar, se utilizaron como respaldos ya que, en el contexto de esta investigación, las personas participantes conocían los CID y sus componentes en profundidad; por último, permitieron generar garantías específicas para proponer una acción en la premisa. De manera similar a los hallazgos de Molina et al. (2023), quienes también utilizaron el modelo de Toulmin, este estudio permitió identificar explícitamente las razones de las propuestas de quienes participaron, las cuales se relacionaron con los componentes de los CID.
El tercer resultado para destacar de ese estudio es que las personas participantes utilizaron todos los componentes de cada CID para valorar la UD y argumentaron sus propuestas de cambio basándose en estos componentes. Además, todos los argumentos prácticos identificados contenían, al menos, cuatro de los elementos que propone el modelo de Toulmin: dato, garantía, respaldo y premisa. Este último resultado difiere de otros estudios que se preocuparon por analizar la argumentación práctica de las personas participantes en el contexto de un ciclo de EC, donde los argumentos prácticos no siempre tuvieron los cuatro elementos antes mencionados, ya sea porque no conocían a los CID (Sol, Breda, Richit, y Sala-Sebastià, 2014) o porque el análisis de la argumentación práctica se hizo en una etapa del ciclo de EC diferente de la etapa de reflexión (Sol, Sánchez et al., 2023).
Una primera conclusión de ese estudio está relacionada con la práctica reflexiva del grupo de personas formadoras de profesores. El conocimiento y operacionalización de los CID promovió una reflexión docente bastante amplia y profunda en todas las etapas del ciclo de EC. Específicamente, elementos como conocimientos previos, evaluación, errores, ambigüedades, procesos matemáticos, currículo, tiempo y recursos didácticos fueron centrales en el desarrollo de la reflexión. Además, la valoración guiada por los componentes de los CID fomentó la reflexión sobre temas más generales, tales como el sistema educativo o el comportamiento del estudiantado fuera del aula de clase. Por lo tanto, la valoración de la UD con los CID funciona como herramienta para ejercer una actividad reflexiva y, al realizar la reflexión grupal en un ciclo de EC, promueve la confrontación de ideas y la generación de argumentos prácticos, lo cual coincide con lo mencionado por Fourés (2011).
Una segunda conclusión de este estudio se relaciona con la dinámica del EC y la valoración de la UD con los CID. Se observó que la valoración les permitió a las personas participantes aumentar su capacidad para identificar aspectos para mejorar y proponer cambios para atenderlos, pues en este proceso compartieron conocimientos y experiencias. Además, reflexionaron sobre los componentes de los CID para aclarar su uso y significado, y discutieron sobre cómo utilizarlos en la valoración de la UD. Este resultado se encuentra en línea con los de Richit et al. (2021), que concluyen que el EC promueve habilidades y competencias profesionales. Por lo tanto, con este estudio se muestra la ventaja de incorporar los CID y sus respectivos componentes en los ciclos de EC, ya sea para el diseño de la UD, su valoración, o la de la clase implementada.
Al retomar la pregunta de investigación, sobre cuál es el papel de los CID en la argumentación práctica de un grupo de personas formadoras de profesores durante la valoración del diseño de una unidad didáctica sobre funciones, se puede concluir que este papel es, en primer lugar, de generador de los argumentos prácticos y, en segundo lugar, de elemento central en la estructuración de estos argumentos. Como perspectiva futura, se pretende comparar la argumentación práctica del diseño de la UD, la valoración de este diseño y la valoración de la clase implementada para, de este modo, analizar el papel de los CID en diferentes momentos de reflexión durante un ciclo de EC.
Como recomendación, las futuras propuestas de formación docente deberían enfocarse en promover una reflexión sobre la práctica, en la cual se utilicen de manera equilibrada todos los componentes de los CID y fomenten la argumentación práctica docente. Para ello, se subraya la importancia de incorporar, en la etapa de reflexión de los ciclos de EC, la valoración del diseño de la UD y no solo la de la implementación. Además, el moderador de las sesiones de los ciclos de EC podría fomentar la argumentación práctica, utilizando expresiones que permitan desencadenar justificaciones o explicaciones en las personas participantes que se puedan estructurar como argumentos prácticos.
Financiamiento
Esta investigación se desarrolló dentro del Proyecto PID2021127104NB-I00 financiado por MICIU/ AEI/10.13039/501100011033 y por ''FEDER Una manera de hacer Europa''; Contrato Predoctoral N.º PRE-2019-090177 financiado por Ministerio de Ciencia e Innovación y Universidades/Fondo Social Europeo/Agencia Estatal de Investigación.
Agradecimiento
Agradecemos a las personas formadoras de profesores de matemática por haber aceptado participar voluntariamente en este estudio de clases y en esta investigación.
Consentimiento informado
Este estudio ha seguido el Código Ético de Integridad y Buenas Prácticas de la Universidad de Barcelona (disponible en http://hdl.handle.net/2445/137899) y ha sido aprobado por la comisión del programa de Doctorado en Didáctica de las Ciencias, las Lenguas, las Artes y las Humanidades de la Universidad de Barcelona con fecha 25 de junio del 2024.
Declaración de la contribución de las personas autoras
Todas las personas autores afirmamos que se leyó y aprobó la versión final de este artículo.
Los roles de los autores según CRediT fueron: T. S. y C. L.: conceptualización, metodología, supervisión. T. S., C. L. y A. B.: curación de datos, análisis formal; software, redacción-borrador original, redacción-revisión y edición, visualización. A. B.
y V. F.: validación, investigación, recursos.
El porcentaje total de contribución para la conceptualización, preparación y corrección de este artículo fue el siguiente: T. S. 35 %, C. L. 30 %, A. B. 25 % y V. F. 10 %.
