Introducción

Los actuales currículos de Matemáticas, generados por el Ministerio de Educación Pública de Costa Rica(MEP) en 2012 incluyen -por primera vez en todos los niveles- el tema de Probabilidad, una de las áreas con gran aplicabilidad en la vida cotidiana. Según^{Batanero (2006}):

(…) el azar está presente en la vida cotidiana, existen muchos contextos en los que aparecen nociones de incertidumbre, riesgo y probabilidad, por ejemplo, el pronóstico del tiempo, diagnóstico médico, estudio de la posibilidad de tomar un seguro de vida o efectuar una inversión, evaluación de un estudiante, etc. (p. 3).

Esta reforma curricular exige que los profesores tengan, no solo un dominio sólido en probabilidad, sino que además desarrollen competencias para elegir y crear problemas llamativos a sus alumnos. Con el interés de satisfacer esta demanda nacional, se realiza este estudio, dentro del marco del proyecto de investigación Pry01-1011-2015, a cargo de quien escribe:“Desarrollo e implementación de metodologías alternativas a la tradicional en los cursos de matemática para futuros profesores de secundaria”.

Muchos docentes en ejercicio indican tener debilidad es en los temas de probabilidad la placiana, probabilidad condicional, teorema de Bayes y ley de los grandes números (^{Meneses, Mora, Peña y Gómez,2013}). Sin embargo, aunque en su formación universitaria(en Costa Rica) recibieron un curso básico de probabilidad y estadística (al menos los docentes de secundaria, puesto que en general, los de primaria no reciben ningún curso al respecto), estos conceptos han sido probablemente olvidados, dado que por mucho tiempo no se han visto en la necesidad deformar a los estudiantes en este tema. Estas deficiencias se agravan cuando se trata de la didáctica de la probabilidad y cómo enseñarla eficientemente, ya que esta preparación estuvo ausente en su formación inicial.

En la actualidad, muchos profesores de secundaria y maestros de primaria, sedientos de material didáctico para explicar esta materia, muchas veces toman problemas de libros de texto de otros países, descontextualizados, con un lenguaje que dificulta la comprensión de los enunciados de los problemas yde poco interés para los estudiantes costarricenses. Es por eso que esta investigación intenta desarrollaren los futuros docentes, la competencia de crear sus propios problemas, necesaria en cualquier profesor. Para ello, se tomó como contexto temático la probabilidad, en el que manifiestan debilidad, según encuesta realizada por ^{Meneses, Mora, Peña y Gómez(2013}), con el fin de darles empoderamiento al respecto y seguridad en las aulas.

En esta investigación se plantearon las siguientes preguntas: ¿cómo lograr que los futuros profesores de matemática sean capaces de crear problemas de probabilidad potentes y llamativos? ¿Cómo empoderarlos en la invención de problemas para introducir el tema de probabilidad de una manera agradable al estudiante?

Después de definir las preguntas de investigación, se buscó crear problemas lúdicos con algunos juegos para introducir los conceptos de probabilidad, de modo que resultaran agradables a los estudiantes. Según ^{Salvador (2007}),

(…) una clase con un juego es una sesión motivada desde el comienzo hasta el final, produce entusiasmo, interés, desbloqueo y gusto por estudiar matemáticas. Un juego bien elegido puede servir para introducir un tema, ayudar a comprender mejor los conceptos o procesos, afianzar los ya adquiridos, adquirir destreza en algún algoritmo o descubrir la importancia de alguna propiedad, reforzar automatismos y consolidar un contenido.

En una segunda fase, se les proporcionó datos reales de estadísticas y censos nacionales, de modo que los futuros profesores crearan problemas de realidades costarricenses, que además se prestaran a reflexiones con los educandos. La Tabla 1 muestra lo que ^{Batanero (2013}), señala como tareas y problemas que pueden resolver los estudiantes según la edad, los cuales se tomaron en cuenta a la hora de crearlos problemas.

Tabla 1: Tareas que se pueden realizar por edad 

Fuente: Batanero, C. (2013). La comprensión de la probabilidad en los niños: ¿qué podemos aprender de la investigación? Atas do III Encontro de probabilidades e estatistica na escola. Braga: Centro de Investigaçao em Educaçao da Universidade do Minho.

De acuerdo con esta información, se decidió dirigir el estudio de creación de problemas, a un nivel de secundaria, es decir, para estudiantes mayores de13años. Por otro lado, se decidió darles estadísticas reales para crear problemas relacionados con problemáticas nacionales, los cuales los adolescentes estén en condición de comprender y concienciar.

Metodología

Para esta investigación se usó como contexto temático el de combinatoria elemental y la regla de Laplace. El estudio se aplicó en una muestra de 10 estudiantes de la carrera Enseñanza de la Matemática de la Universidad Nacional de Costa Rica, quienes estaban llevando, con la misma docente e investigadora, un curso de resolución de problemas. Previo a la experiencia, se les asignaron dos lecturas que debían discutir y luego exponer a sus compañeros sobre creación de problemas (^{Malaspina, 2013}; ^{Michaela,Ellerton y Cai, 2015}), con el objetivo de preparar los para la actividad. Luego se les proporcionó material didáctico concreto, así como datos del Compendio de Estadísticas del Informe del Estado de la Nación (2016), para crear sus problemas. Para la recolección de información se usó un diario, donde se fue anotando todo lo que ocurrió en el aula y se recogieron evidencias escritas (las modificaciones y problemascreados por los grupos de trabajo).

Etapas para la invención de problemas

Se siguieron cuatro fases para que los profesores en formación lograran plantear sus problemas: análisis de enunciados de problemas clásicos de probabilidad, variación y adaptación de problemas, invención de problemas propios, evaluación y mejora de estos. Dichas etapas han sido usadas y validadas en otras diferentes experiencias en áreas de análisis y álgebra, como puede verse en ^{Salazar (2015}), con lo que se obtuvo resultados positivos. Se fundamentan en la variación de problemas para paulatinamente dar lugar a nuevas creaciones, incluyendo una etapa previa en la que se analizan problemas dados por expertos (autores de libros o problemas de la web) y otra etapa posterior, donde después de la invención de problemas, se persigue su mejora, después de una evaluación utilizando criterios de calidad previamente definidos. Las etapas, de acuerdo con Salazar(2016), se describen en la Tabla 2:

Tabla 2: Etapas para creación de problemas 

Salazar, L. (2016). Creación de problemas mediante un proceso guiado de cuatro etapas. Revista del Congreso Internacional de Docencia Universitaria e Innovación (CIDUI), 3.

Descripción de la experiencia

1. Creación de problemas usando material lúdico

Es bien sabido que las instituciones de secundaria costarricenses, rara vez dan apoyo económico para que el docente pueda adquirir material didáctico para impartir sus clases. Es por eso que en la actividad se eligió un material económico y de fácil acceso (se venden en tiendas populares). Con esto se busca que el futuro docente pueda inventar problemas motivantes y lúdicos sin que esto le signifique un gran costo en dinero. Para ello se puso a disposición de los futuros profesores de matemática, una mesa con diferentes materiales lúdicos (dados, ruleta, bolas, bolsas, alfombritas y diferentes juegos de mesa), de modo que pudieran elegir alguno para inventar problemas de probabilidad elemental, como se muestra en la figura 1:

A continuación, se hace una descripción de la experiencia y cómo los profesores de matemática en formación, fueron generando nuevos problemas vía variaciones.

Figura 1 Material usado en la actividad. Fuente propia. 

A continuación, se ilustran algunos ejemplos de los problemas creados por los diferentes grupos de trabajo, usando un material muy versátil y económico.

Tabla 3: Problemas creados por los participantes 

Se presentan tres juegos, planteados por los estudiantes, los cuales surgen vía variaciones de los problemas previos, es decir, realizando variaciones de las variaciones anteriores. Es interesante cómo la invención de problemas, da pie a que la mente genere sobre este, otro problema, con dificultad y potencialidades mayores.

Tabla 4: Problemas creados por los participantes 

2. Creación de problemas usando estadísticas nacionales reales

Finalmente, se les asignó como tarea buscar datos oficiales de Estadísticas y Censos de Costa Rica, para crear problemas de probabilidad que se presten a reflexiones de los estudiantes, acerca de datos reales y sobre todo, de las razones posibles de lo que indican esos datos y la probabilidad.

Figura 7. Costa Rica: Población de 15 años o más por nivel de instrucción según zona, región de planificación y sexo, julio 2016 

Fuente: Informe Estado de la Nación. (2016). Compendio de Estadísticas del Informe del Estado de la Nación. Recuperado de http://www.estadonacion.or.cr/estadisticas-index

Este tipo de datos, pueden utilizarse para involucrar al estudiante en situaciones reales de su entorno social y darle herramientas para una reflexión guiada que pueda complementarse en otras asignaturas, como educación cívica, estudios sociales, entre otras. Por ejemplo, en el caso particular presentado en el Cuadro 3, puede darse una rica reflexión sobre las diferencias en educación entre las zonas centrales y las rurales o una discusión sobre las posibles causas y soluciones. Esto da pie a formar ciudadanos críticos y conscientes de las diferencias sociales. Este tipo de estadísticas son de libre acceso y hay gran cantidad de datos en diferentes temas que el docente puede utilizar como insumo para crear problemas interesantes a sus estudiantes, como los siguientes:

Tabla 5: Problemas creados por los participantesProblemas Comentarios 

Conclusiones

Los resultados de este estudio fueron positivos en cuanto a los productos o creaciones de problemas que los futuros docentes inventaron y sus alcances. Al inicio, los profesores en formación presentaron dudas e inseguridades sobre el propósito de la tarea, dado que nunca antes se habían enfrentado a ejercicios de este tipo, sino más bien a actividades de resolución de problemas. Sin embargo, a medida que palparon el material concreto y trabajaron con las estadísticas, las ideas fueron surgiendo paulatinamente, creando cada vez problemas con mayores potencialidades.

La incorporación de las cuatro etapas usadas en la invención de problemas, les llevó de una manera expedita a crear nuevos problemas. La primera etapa, que es la de explorar problemas de libros de texto, realizados por expertos, se desarrolló con muy buenos resultados, ya que tener el material en la mano, les dio a los futuros docentes insumos para realizar modificaciones y adaptaciones para generar nuevos problemas e incluso juegos, con los que ellos mismos indicaban la finalidad que se les podría dar. La segunda etapa se dio de manera natural, pues al inventar un problema, casi inmediatamente les daba ideas para generar alguna modificación, y crear otro problema, usualmente con mayor dificultad. Para la tercera etapa, la de creación de problemas originales, podría decirse que se llegó a un nivel relativamente bajo. Sin embargo, para una primera experiencia, no se podría decir que estuvo mal. De hecho, los juegos 3, 4 y 5 son muy interesantes y motivadores. Esta es una competencia que se logra poco a poco y se refuerza con la práctica.

En la última etapa, que era la discusión de los problemas con miras a las mejoras, hubo interesantes reflexiones sobre lo que debía ser un buen problema y la importancia de la redacción y claridad de los requerimientos. Al respecto se hicieron cuestionamientos a problemas de libros de texto, en los que se dificultaba mucho saber qué se pedía, precisamente por la confusión que genera la redacción de algunos de ellos.

En el desarrollo de la actividad, los participantes expresaron su aprobación en cuanto a cómo, con un material barato y versátil, se pudo lograr tantos resultados. Después de indagar en las estadísticas que están disponibles en la web, ellos mismos fueron dando ideas de maneras en que podrían usarlas para generar problemas, no solo de probabilidad, sino también de estadística. Finalmente, en la evaluación de la actividad, reconocieron que se sentían más empoderados que al principio.

Se recomienda inducir a los profesores en formación y a los que están en ejercicio, a crear sus propios problemas, porque esto les genera empoderamiento y seguridad en las aulas. Un profesor motivado, logra motivar a sus estudiantes, un profesor convencido de un problema interesante, puede más fácilmente interesara sus alumnos. Bien lo dice el proverbio chino:“Regala un pescado a un hombre y le darás alimento para un día, enséñale a pescar y lo alimentarás para el resto de su vida”.

Anexo

Tabla 6: Problemas adicionales