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Introducción
Actualmente existe un considerable interés por investigar sobre la formación del profesorado, dado que su competencia tiene una influencia directa en el desarrollo de los conocimientos matemáticos que adquiere el estudiantado (König et al., 2021; Tatto y Senk, 2011; Wasserman et al., 2023). Como parte del dominio especializado de los contenidos a enseñar, dicha formación requiere promover la competencia de creación y análisis de problemas matemáticos (Pochulu et al., 2016), debido a su importancia como recurso didáctico, esencial para docentes y estudiantes (Cai et al., 2015; Cai y Hwang, 2020). Por ello, se espera que el profesorado cuente con los conocimientos y competencias suficientes para adaptar o crear problemas apropiados para los fines didácticos, y evaluar la actividad matemática del estudiantado (Mallart et al., 2018). En este sentido, el profesorado futuro requiere familiarizarse con experiencias que promuevan la creación y análisis de problemas (Tizón-Escamilla y Burgos, 2023) para ayudarle al estudiantado en el aprendizaje de las matemáticas (Silber y Cai, 2021).
Este trabajo se centra en la creación, resolución, modificación y análisis de problemas que involucran el uso de las tablas estadísticas, uno de los tipos de representación más usados para visualizar datos (Shreiner, 2018), y cuya interpretación forma parte de las competencias básicas de alfabetización para desenvolverse con éxito en la sociedad actual (National Center for Education Statistics, 2017). A través de las tablas estadísticas es posible desarrollar un razonamiento algebraico progresivo, pues el trabajo con ellas requiere, además de conocimientos estadísticos y aritméticos, procesos de razonamiento algebraico como generalización, representación, interpretación y simbolización (Pallauta et al., 2023).
Concretamente, y de acuerdo con Lahanier-Reuter (2003), se diferencian los siguientes tipos de tablas estadísticas:
Tabla de datos, utilizada para representar un listado de valores de una o varias variables.
Tabla de distribución de una variable, representa las modalidades de la variable y sus correspondientes frecuencias (absolutas, relativas o porcentuales).
Tabla de doble entrada o contingencia, representa la distribución conjunta, marginal y condicionada, junto con la asociación e independencia entre dos variables estadísticas.
En las directrices curriculares españolas (MEFP, 2022), las tablas estadísticas se presentan como un medio para estudiar diferentes temas (como correlación, probabilidad, estadística descriptiva o ciencias sociales). Sin embargo, a pesar de su aparente sencillez, variadas investigaciones alertan que el profesorado en formación carece de conocimientos suficientes sobre este tema (Fernandes y Barros, 2022; Fernandes et al., 2021; Gea et al., 2020; Pallauta et al., 2022; Watson y Callingham, 2014). Además, son escasos los estudios que analizan la implementación de acciones formativas del profesorado futuro de matemáticas para desarrollar competencias didáctico-matemáticas sobre las tablas estadísticas y el razonamiento algebraico involucrado en los problemas sobre ellas.
Con el fin de hacer una contribución en este tema, describimos los resultados de la puesta en marcha de una acción formativa, dirigida al desarrollo de competencias de resolución y creación de problemas, sobre tablas estadísticas, y la asignación de niveles de razonamiento algebraico involucrados en su resolución. En concreto, sobre dicha acción formativa, se plantean las siguientes preguntas de investigación: (1) ¿cómo resuelven y qué nivel de razonamiento algebraico muestran los futuros profesores de matemáticas en problemas que involucran tablas estadísticas?, (2) ¿cómo modifican estos problemas los futuros profesores para crear otros nuevos? y (3) ¿cuál es el nivel de razonamiento algebraico implícito en las resoluciones de los problemas propuestos que es reconocido por los futuros profesores?
En las siguientes secciones se presentan los elementos teóricos que sustentan este trabajo junto al método empleado. Seguidamente, se exponen y discuten los resultados obtenidos para responder a las preguntas de investigación propuestas. Se finaliza con un resumen de las principales conclusiones y limitaciones del trabajo.
Antecedentes
La creación de problemas matemáticos se centra en la formulación de nuevas situaciones o la adaptación de los problemas existentes (Silver, 1994), con la finalidad de ofrecer oportunidades de aprendizaje matemático efectivo al estudiantado (Baumanns y Rott, 2022; Silber y Cai, 2021).
Esta actividad se fomenta en las directrices curriculares españolas (MEFP, 2022), pues en 4.º curso de Educación Secundaria Obligatoria (ESO), para las asignaturas matemáticas A y B, se plantea la competencia específica: “Reformular de forma verbal y gráfica problemas matemáticos, interpretando los datos, las relaciones entre ellos y las preguntas planteadas” (pp. 41735, 41740). Por tanto, es necesario incorporar el desarrollo de esta competencia en la formación de docentes, dado que se relaciona directamente con su práctica, y además les permite evaluar la comprensión matemática que logran sus estudiantes (Cai y Hwang, 2020; Elgrably y Leikin, 2021).
De acuerdo con Malaspina et al. (2015), en la creación de un nuevo problema intervienen cuatro elementos fundamentales: los datos disponibles, el requerimiento o lo que se pide determinar, abarcando la construcción de representaciones o demostraciones; el contexto en que se sitúa el problema (intramatemático o extramatemático), y los objetos matemáticos y conceptos que participan de manera implícita o explícita en su resolución (entorno matemático). Según los autores, la creación de nuevos problemas puede llevarse a cabo de dos maneras: a) mediante la modificación de un problema, al variar alguno de los cuatro elementos mencionados anteriormente; b) a través de la creación de un problema completamente nuevo, que puede surgir de una situación existente o de un determinado requisito con un enfoque matemático o didáctico.
La investigación sobre creación de problemas por parte del profesorado es creciente, y ha evidenciado que dicha capacidad puede dificultarse por una limitada compresión conceptual del tema matemático tratado (Burgos y Chaverri-Hernández, 2022; Leavy y Hourigan, 2020; Zhang y Cai, 2021). Sin embargo, aún son escasos los estudios relacionados con la estadística y la probabilidad.
En esta línea, Alonso-Castaño et al. (2021) analizaron los problemas de probabilidad que crearon 109 profesores de educación primaria en formación. A partir de un problema se les pidió a las personas participantes plantear y resolver un problema adaptado a 6.º del curso de educación primaria (de 11 a 12 años). Aproximadamente la mitad fue capaz de proponer un problema adecuado, acorde con las instrucciones dadas y resolverlo correctamente. Otros participantes propusieron problemas inadecuados para el curso solicitado, o que no se ajustaron a las condiciones indicadas, lo cual sugirió un limitado conocimiento de la probabilidad y del currículo. No obstante, según los autores, la experiencia les facilitó a las futuras personas docente movilizar su conocimiento sobre el planteamiento y resolución de problemas, la comunicación y la argumentación.
En su estudio, Tizón-Escamilla y Burgos (2023) analizaron la creación de un problema de proporcionalidad en un contexto probabilístico, a cargo de 17 personas futuras docentes de educación primaria. Además, debían identificar los objetos matemáticos y el nivel de razonamiento algebraico implicado en su resolución y las posibles dificultades del estudiantado. Posteriormente, debían crear variantes del problema y promover una actividad algebraica de nivel superior. Los resultados sugieren dificultades en establecer problemas que impliquen razonamiento proporcional e identificar cuáles elementos de razonamiento proporcional y algebraico están presentes en la resolución que propone cada docente.
En un artículo previo (Pallauta et al.) se pide a una muestra de 139 futuras personas docentes de secundaria en el área de matemáticas, analizar los objetos matemáticos implícitos en la resolución de dos problemas basados en tablas estadísticas y asignar el nivel de razonamiento algebraico implícito en dichas resoluciones. Se observó que la identificación de objetos matemáticos y la asignación del nivel de razonamiento algebraico a la resolución de los problemas fue deficiente.
En este trabajo, se utilizan problemas extraídos de libros de texto, para pedir a una muestra de 66 futuras personas docentes que, una vez resueltos, los modifiquen para proponer nuevos problemas y analicen el nivel de razonamiento algebraico implicado en su resolución.
Marco teórico
Los fundamentos del trabajo son el modelo de competencias y conocimientos didáctico-matemáticos del profesor (CCDM) y los niveles de razonamiento algebraico (en adelante NRA) de la actividad matemática que propone el enfoque ontosemiótico del conocimiento e instrucción matemáticos (EOS) (Godino, 2024; Godino et al., 2007; 2019). En dicho enfoque las situaciones-problema juegan un papel fundamental, pues el significado de un objeto matemático se asigna en función del conjunto de prácticas operativas y discursivas realizadas al resolver las situaciones-problema vinculada con ese objeto.
Modelo de competencias y conocimientos didáctico-matemáticos del profesor de matemáticas
El modelo de CCDM (Godino, 2024; Godino et al., 2017) surge de la premisa de que la persona docente debe tener la capacidad de analizar la práctica matemática puesta en juego en la resolución de problemas, reconocer las prácticas, los objetos y los procesos matemáticos implicados.
En este modelo se asume que el conocimiento matemático docente consta del conocimiento matemático común, relativo para ese tema en el nivel educativo donde se imparte la docencia (es decir, el que debe enseñar al estudiantado; por tanto, es compartido) y del conocimiento ampliado, que es más extenso que el anterior y permite articularlo con los niveles superiores o con otras materias (Godino et al., 2017).
En relación con los conocimientos didáctico-matemáticos, este modelo considera las diferentes facetas de conocimientos que emergen de los procesos de instrucción: epistémica (conocimiento didáctico-matemático del propio contenido, el cual es específico del profesorado y le permite gestionar la enseñanza), ecológica (relación del contenido matemático con otras materias, con el currículo y factores que condicionan la enseñanza), cognitiva (conocimiento de las dificultades, estrategias y razonamientos de los estudiantes y la forma de tenerlos en cuenta en el aprendizaje), afectiva (conocimiento y manejo de actitudes, creencias y emociones), mediacional (conocimiento de recursos didácticos para el tema en cuestión) e interaccional (formas de organizar el discurso del aula).
Con respecto al desarrollo de competencias profesionales, el modelo CCDM propone que el profesorado debe ser competente para analizar la actividad matemática implicada en la resolución de problemas, con el propósito de crear, gestionar y evaluar los apropiados para el estudiantado (Godino et al., 2015). En este sentido, el modelo CCDM define las siguientes competencias requeridas por el profesorado: a) competencia de análisis de los diferentes significados del objeto matemático estudiado y la forma de contemplar en el proceso de instrucción; b) competencia de análisis de las prácticas matemáticas; c) competencia de análisis y gestión de las configuraciones didácticas; es decir, del modo de organizar el proceso de instrucción; d) competencia de análisis de las normas que regulan dicho proceso; e) competencia de análisis y valoración de la idoneidad didáctica.
En particular, las dos primeras competencias se vinculan con la resolución y creación de problemas de los que trata este trabajo:
La competencia de análisis del significado de los objetos matemáticos abarca la capacidad de identificar y crear situaciones-problema asociadas al significado del objeto a promover en la enseñanza; en este caso, las tablas estadísticas.
La competencia de análisis de las prácticas matemáticas implica la identificación de las prácticas operativas y discursivas involucradas en la resolución de problemas, y reconocer los objetos y procesos matemáticos surgidos de dichas prácticas (Font et al., 2022; Godino et al., 2017).
En resumen, para dar respuesta a las tres preguntas de investigación planteadas, el conocimiento matemático común y avanzado de las personas participantes se evalúa al resolver los problemas propuestos (pregunta 1). Seguidamente, se estudian las variantes de los problemas creados por ellos y ellas, los cuales muestran su competencia de análisis del significado de las tablas estadísticas (pregunta 2). Por último, se evalúa la competencia de análisis de las prácticas matemáticas al analizar las resoluciones de los problemas modificados para asignarles un nivel de razonamiento algebraico (pregunta 3).
Niveles de razonamiento algebraico en el trabajo con tablas estadísticas
Desde el EOS se proponen los niveles de razonamiento algebraico (NRA) (Godino et al., 2014, 2015) para tener en cuenta la dificultad de las prácticas empleadas en la resolución de los problemas en los cuales intervienen objetos algebraicos (relaciones binarias de equivalencia u orden, operaciones y sus propiedades, funciones, operaciones y estructuras algebraicas junto a sus tipos y propiedades) y procesos algebraicos (simbolización, relación, variables, incógnitas, ecuaciones, patrones, generalización y modelación).
Godino et al. (2014) proponen los siguientes NRA utilizados habitualmente en la educación primaria:
NRA 0. Se basa en operaciones con objetos de primer grado de generalidad (números particulares), mediante un lenguaje natural, numérico o icónico, por tanto, el razonamiento es numérico
NRA 1. Se utilizan objetos de segundo grado de generalidad (conjuntos, clases o tipos de números), se presentan propiedades de la estructura algebraica de los números naturales y la igualdad como equivalencia. Se pueden usar símbolos, pero no se opera con ellos.
NRA 2. Se presentan objetos con segundo grado de generalidad y variables como incógnitas. Aparece el significado relacional de la igualdad. Se emplean representaciones simbólicas y se resuelven ecuaciones de la forma Ax ± B = C (A, B, C ϵ R), pero no se opera con la incógnita.
NRA 3. Se utilizan incógnitas, ecuaciones, variables y funciones particulares. Se realizan operaciones con indeterminadas o variables; se resuelven ecuaciones del tipo Ax ± B = Cx ± D (A, B, C, D ϵ R). Se usan los símbolos de forma analítica.
En Godino et al. (2015), se añaden tres niveles superiores de NRA, dirigidos a la educación secundaria, que abordan el tratamiento de parámetros vinculados a familias de ecuaciones y funciones, y el análisis de estructuras algebraicas:
NRA 4. Se utilizan parámetros junto a coeficientes variables para representar familias de ecuaciones y funciones, realizando operaciones con coeficientes variables, pero no con los parámetros.
NRA 5. Se realizan cálculos analíticos (sintácticos) que involucran parámetros junto con otras variables.
NRA 6. Se trabaja con estructuras algebraicas junto a operaciones y composición de funciones.
Aplicación al análisis de la actividad algebraica en las tablas estadísticas
Pallauta et al. (2023) analizan los NRA ligados a los diferentes tipos de tablas estadísticas que describe Lahanier-Reuter (2003), los cuales se detallan a continuación:
Tabla de datos. Abarca los conceptos de variable y sus valores, generalmente numéricos particulares, su trabajo implica un NRA 0.
Tabla de distribución de una variable. Se distinguen tres tipos con diferente NRA: a) Tabla con frecuencias ordinarias, involucra al menos un NRA 1, pues se considera el uso de objetos de segundo grado de generalidad (clases de equivalencia). b) Tabla con frecuencias acumuladas, involucra el concepto de desigualdad, pues implica un NRA 3. Se requiere operar con incógnitas para determinar, por ejemplo, el valor de los cuartiles; c) Tabla con datos agrupados en intervalos, además de las frecuencias anteriores incluye los conceptos de máximo y mínimo, marca de clase, extremo inferior y superior, es decir, un NRA 3.
Tabla de doble entrada o contingencia. Las frecuencias de las celdas interiores pueden ser absolutas, relativas o porcentuales y se relacionan con dos variables (x e y) en el caso de las conjuntas, y con una sola variable (x o y) en las marginales. En las frecuencias condicionadas, una variable se convierte en parámetro, ya que al fijar una de ellas, se obtiene una distribución condicionada específica de la otra variable. De este modo, la resolución puede involucrar un NRA 4 (Godino et al., 2015).
El modelo NRA descrito (Godino et al., 2014; 2015) en un inicio se pretendía caracterizar el razonamiento algebraico empleado en la resolución de problemas matemáticos específicos. No obstante, como se afirma en los antecedentes, se han realizado investigaciones en las cuales se utiliza los NRA para caracterizar la actividad algebraica mostrada en la resolución de problemas de temas específicos; por ejemplo, la proporcionalidad y la probabilidad (Burgos et al., 2018; Tizón-Escamilla y Burgos, 2023).
Método
Este trabajo se apoya en la implementación y evaluación de una acción formativa dirigida a desarrollar conocimiento y competencia didáctico-matemáticas del profesorado en formación. El método utilizado en este estudio es el de investigación basada en el diseño (Van den Akker et al., 2006), el cual consta de cuatro etapas: estudio preliminar, diseño de la acción formativa, implementación y valoración de la misma. Para valorar la acción formativa se observa su efecto en el desarrollo de las competencias objeto de este estudio.
Contexto y participantes
En la acción formativa participaron 66 docentes en formación del programa de Máster Universitario en Profesorado de Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato (especialidad de Matemáticas), que es requisito en España para ejercer la docencia en la educación secundaria (de 12 a 15 años) y bachillerato (de 16 a 17 años). Los participantes contaban con un grado (4 años de universidad) en matemáticas, estadística, ciencias o ingeniería; además, durante su formación de grado, habían realizado uno o varios cursos de álgebra y estadística. Por tanto, contaban a priori con un buen conocimiento matemático sobre estos temas.
Implementación de la acción formativa
La acción formativa se desarrolló en tres sesiones (dos horas cada una), en las cuales se trabajaron la creación de problemas, las características del modelo NRA y la actividad algebraica requerida en el trabajo con los diferentes tipos de tablas estadísticas.
En la primera sesión, el formador de docentes introdujo las características del modelo NRA (Godino et al., 2014; 2015), mediante un debate con las personas participantes sobre la utilidad del modelo para analizar y reflexionar sobre los objetos y procesos algebraicos presentes en los problemas matemáticos escolares. Además, se presentaron a las personas docentes en formación los diversos objetos y procesos algebraicos utilizados en la enseñanza primaria y secundaria: relaciones binarias, operaciones y propiedades aplicadas a elementos de distintos conjuntos, funciones y procesos de generalización-particulación y su representación.
En la segunda sesión, se analizó la actividad algebraica implicada en el trabajo con diferentes tipos de tablas estadísticas junto a los objetos estadísticos que las caracterizan (Pallauta et al., 2023): población, individuo, variable, valor, frecuencia y sus tipos, distribución (simple, conjunta, condicionada, marginal), resúmenes estadísticos. Se enfatizó en la importancia de contar con los conocimientos fundamentales respecto a los distintos tipos de tablas estadísticas y su uso en el estudio de varios temas (p. ej. resúmenes estadísticos, probabilidad y correlación). Se trabajaron ejemplos de asignación de NRA y también se ejercitó la creación de problemas, algunos de los estos involucraron tablas estadísticas para ejemplificar la creación y modificación de problemas.
En la tercera sesión, que se describe a continuación, se llevó a cabo la evaluación de los conocimientos y competencias adquiridos. Las respuestas escritas de las personas participantes de los problemas planteados se estudiaron mediante análisis de contenido (Schreier, 2014), con lo cual se aseguró la fiabilidad de la codificación, mediante sucesivas revisiones de las personas autoras, hasta llegar a un acuerdo.
Evaluación de los conocimientos y competencias adquiridos
Para llevar a cabo la evaluación, se propusieron dos problemas sobre tablas estadísticas, seleccionados de acuerdo con los siguientes criterios: a) debía ser problemas tomados de libros de texto de Educación Secundaria Obligatoria (ESO); b) los problemas requerían involucrar diferentes tipos de tablas estadísticas y la posibilidad de trabajar con distintos niveles de razonamiento algebraico. Para cada uno de ellos, las personas participantes debían, individualmente, completar las siguientes instrucciones:
Resolver cada problema de dos maneras diferentes.
Crear un nuevo problema variando el dado inicialmente.
Resolver los nuevos problemas creados e indicar el NRA involucrado.
A continuación, se analizan los problemas propuestos a las personas participantes y para cada uno de ellos sus posibles soluciones que implican diferentes niveles de razonamiento algebraico. Se muestran ejemplos de respuestas que se han codificado como Px, donde x indica el orden de la persona docente en formación que proporciona la respuesta en la lista de clase.
Análisis del Problema 1
En el Problema 1 (Figura 1) se pide completar la tabla de contingencia cuando se conocen algunas probabilidades condicionadas. La resolución implica el concepto de probabilidad condicionada y el uso de expresiones algebraicas con variables (A, B, C, D), para representar dichas probabilidades. El suceso que juega el papel de condición es un parámetro, pues, al cambiar su valor, se obtiene diferente probabilidad condicionada. Por lo tanto, se trabaja al menos con un NRA 4 (Pallauta et al., 2023).
La resolución del problema puede implicar el uso de NRA 4 y NRA 5. En el NRA 4 (Figura 2), la expresión simbólica de las probabilidades condicionadas, conjuntas y simples involucran operaciones conjuntistas (intersección) y algebraicas (división). Los sucesos que aparecen como condición son parámetros, pues al cambiarlos varía la distribución condicionada en la tabla de contingencia, pero no se opera con ellos. Asimismo, se utilizan y resuelven ecuaciones.
Fuente: propia de la investigación.
Figura 2 Ejemplo de resolución del Problema 1 con NRA 4 por el participante P18
En la Figura 3 se presenta la respuesta de P31 que muestra un NRA 5, pues se utilizan ecuaciones y parámetros. Se aprecia el uso de una simbología algebraica, propiedades y diferentes operaciones analíticas en la resolución de sistemas de ecuaciones.
Análisis del Problema 2
En el Problema 2 (Figura 4) los datos se exponen en una tabla de datos que incluye los conceptos de variable y sus valores (Pallauta et al., 2023). Su resolución requiere despejar una incógnita que representa el valor desconocido de una de las variables, lo cual implica invertir el algoritmo de cálculo de la media ponderada.
La resolución del Problema 2 involucra diferentes NRA. Por ejemplo, la respuesta de P19 (Figura 5, izquierda) muestra un NRA 0, pues se opera con números particulares, en un lenguaje natural y numérico, en el cual no inter vienen objetos ni procesos algebraicos. Otros participantes también en este nivel, como P13 Figura 5, derecha), utilizan el ensayo y error, entregando un valor aproximado, pues esta estrategia no permite determinar el valor exacto.
La estrategia de reducción a la unidad indica el uso del NRA 1 (Burgos y Godino, 2020), como es el caso de P45 (Figura 6), quien reconoce la razón unitaria 135m/1min y aplica adecuadamente a propiedades de la relación de proporcionalidad directa, y aunque utiliza una incógnita, solo representa el resultado de una operación y no opera con ella.
Fuente: propia de la investigación.
Figura 6 Ejemplo de resolución del Problema 2 con NRA 1 por el participante P45
En el NRA 2, mostrado por P21 (Figura 7), se utiliza la fórmula de la velocidad media, al plantear una ecuación en que se opera con la incógnita.
Resultados y discusión
Para dar respuesta a las preguntas de investigación, los resultados de la evaluación se organizan en tres apartados: (1) corrección de la resolución de los problemas y NRA mostrado, (2) creación de nuevos problemas modificando los iniciales y (3) asignación del NRA en los problemas creados.
Corrección de la resolución de los problemas
Para responder a la primera pregunta de investigación (¿cómo resuelven y qué nivel de razonamiento algebraico muestran las personas docentes de matemáticas en formación en problemas que involucran tablas estadísticas?), se analizan las soluciones proporcionadas a los dos problemas iniciales.
La Tabla 1 resume las soluciones de las personas participantes según su corrección y nivel NRA de dicha respuesta. Recordamos que se pidieron dos soluciones diferentes de cada problema (aunque algunas personas solo proporcionan una), por lo que el número total de soluciones analizadas es mayor al tamaño de la muestra de docentes. La mayoría de las personas participantes responde correctamente al Problema 1, mediante una resolución de nivel NRA 4 (82,6 %), mientras que, aunque en el Problema 2 la mayoría responde de manera correcta utilizando un NRA 2 o inferior (65,2 %), un porcentaje importante lo responde incorrectamente (34,4 %).
Tabla 1 Frecuencia y porcentaje 1 de soluciones de los problemas iniciales según su corrección y nivel NRA
| Solución proporcionada | Problema 1 N=132 | Problema 2 N=116 | ||
|---|---|---|---|---|
| Frecuencia | Porcentaje | Frecuencia | Porcentaje | |
| Correcta | ||||
| C.1. NRA 0 | 8 | 6,9 | ||
| C.2. NRA 1 | 7 | 6 | ||
| C.3. NRA 2 | 61 | 52,3 | ||
| C.4. NRA 4 | 109 | 82,6 | ||
| C.5. NRA 5 | 3 | 2,3 | ||
| Incorrecta | ||||
| I.1. Registra probabilidades en lugar de frecuencias absolutas | 18 | 13,6 | ||
| I.2. Utiliza la media simple en lugar de la ponderada | 7 | 6 | ||
| I.3. Pondera las medias | 28 | 24,1 | ||
| I.4. Otros | 2 | 1,5 | 5 | 4,3 |
Nota: fuente propia de la investigación.
1 El porcentaje se calcula con respecto al total de soluciones aportadas en cada problema.
Las respuestas incorrectas en el Problema 1 se deben, principalmente, a la confusión de probabilidades con frecuencias absolutas. Por ejemplo, P15 (Figura 8), aunque utiliza un lenguaje simbólico correcto, asigna valores a probabilidades simples y conjuntas que no son coherentes con la definición de probabilidad (valores entre 0 y 1).
Fuente: propia de la investigación.
Figura 8 Ejemplo de resolución incorrecta Problema 1 del participante P15
En el Problema 2 se encontraron dos tipos de errores:
Emplea la media simple. Solo considera la distancia del recorrido que se pide determinar, ignorando el tiempo en que se recorren los tres trayectos, como P2 (Figura 9, izquierda).
Pondera medias. Confunde la media de cada trayecto con la media del tiempo en recorrer la distancia total, como P5 (Figura 9, derecha). Errores similares, en el cálculo de la media ponderada se han presentado en otros estudios (Mayén, 2009; Molero et al., 2019).
En resumen, las personas participantes muestran un buen conocimiento matemático alcanzando niveles avanzados de NRA en problemas con tablas estadísticas.
Estos resultados son mejores que los obtenidos con futuras personas maestras de educación primaria en problemas de proporcionalidad (Alonso-Castaño et al., 2021).
Creación de nuevos problemas
Para caracterizar la forma en que el profesorado en formación modifica los problemas iniciales, se realiza un análisis de cada una de las propuestas de modificación realizadas por ellos. Con esto se pretende responder a la segunda pregunta de investigación: ¿cómo modifican estos problemas los futuros profesores para crear otros nuevos? Se trata del planteamiento de nuevos problemas a partir de la resolución de otros (Silver, 1994). Las personas participantes realizaron modificaciones a los problemas iniciales, al variar tan solo elementos de los mismos (Malaspina et al., 2015) o bien lo cambiaron por completo
Por ejemplo, en los problemas creados a partir del Problema 1, P12 modificó los datos del problema para completar la tabla de contingencia (Figura 10, izquierda), lo cual indica el número total de la muestra y diferentes tipos de probabilidades (simple, compuesta y condicionada). Por otra parte, P20 (Figura 10, derecha) aunque mantiene el uso de una tabla de contingencia, planteaun nuevo problema centrado en completar dicha tabla a partir de información dada de forma verbal.
Fuente: propia de la investigación.
Figura 10 Ejemplo de creación de problemas a partir del Problema 1
De manera similar ocurre con los problemas creados a partir del Problema 2. Por ejemplo, P59 (Figura 11, izquierda) presenta los datos en la tabla y solicita el cálculo de la velocidad media, al suprimir la dificultad de invertir el cálculo de la media ponderada. Otros, como P56 (Figura 11, derecha), proponen un problema diferente al que se planea en un inicio, considerando la elaboración e interpretación de una tabla de distribución de una variable con frecuencias ordinarias, incorporando también el cálculo de la media ponderada.
Fuente: propia de la investigación.
Figura 11 Ejemplo de creación de problemas a partir del Problema 2
En la Tabla 2 se presentan el tipo de modificaciones y elementos considerados para la creación de nuevos problemas,
Tabla 2 Frecuencia y de cambios en la creación de nuevos problemas y porcentaje respecto al total de problemas creados
| Nuevo problema | Problema 1 | Problema 2 | ||
|---|---|---|---|---|
| Frecuencia | Porcentaje | Frecuencia | Porcentaje | |
| Realiza modificaciones | ||||
| Datos o preguntas planteadas | 16 | 24,2 | 13 | 19,7 |
| Reemplaza dato por incógnita | 11 | 16,5 | 12 | 18,2 |
| Cambio de contexto | 3 | 4,5 | ||
| Crea nuevo problema | ||||
| Completar tabla | 3 | 4,5 | ||
| Construir tabla | 17 | 25,8 | 15 | 21,4 |
| Lectura de frecuencias | 1 | 1,5 | 3 | 4,3 |
| Determinar probabilidad compuesta o condicionada | 5 | 7,6 | ||
| Calcular estadístico (media, media ponderada, varianza) | 10 | 14,3 | ||
| No aporta enunciado | 13 | 19,7 | 14 | 20 |
| Total | 66 | 100 | 70 | 100 |
Nota: fuente propia de la investigación.
respecto al problema planteado en un inicio. En relación con el Problema 1, la creación de los nuevos problemas se centran en construir tablas de doble entrada (25,8%); especialmente, a partir de información ofrecida de manera verbal (Figura 10, derecha).
Otros enunciados mantienen el problema planteado, pero modifican los datos (Figura 10, izquierda) o la pregunta (24,2%). También se presentan modificaciones caracterizadas por el reemplazo de un dato numérico por una incógnita (16,5%) con el propósito de incrementar la dificultad del problema.
Con respecto al Problema 2, la mayoría de las personas participantes cambia por completo el enunciado del problema inicial (40,9%), considerando variados procedimientos como: la construcción de tablas, el cálculo de diferentes estadísticos, determinar probabilidades o la lectura de frecuencias asociadas a determinados valores de la variable. Asimismo, tanto en las modificaciones, como las creaciones de nuevos problemas, se incluyen varios tipos de cambios o consignas en un mismo problema (Figura 11, derecha). Por esta razón, la suma total es mayor que el número de participantes y los porcentajes de esta tabla se calculan con respecto al número de problemas creados.
Finalmente, un porcentaje importante de docentes en formación no aporta el enunciado de un nuevo problema, tanto en el Problema 1 (19,7%) como en el Problema 2 (21,2%). Estos resultados fueron mejores que los obtenidos por Alonso-Castaño et al. (2021) sobre creación de problemas de probabilidad, donde solo la mitad de la muestra fue capaz de proponer un problema adecuado, aunque en su caso se trataba de creación completa y no de modificación o creación a partir de la resolución de un problema dado.
Respecto al tipo de tabla que utilizan las personas participantes en el enunciado de los nuevos problemas, en la Tabla 3 se observa que en el Problema 1, la mayoría mantiene la tabla de doble entrada (72,7%). En el Problema 2 la mayoría de las futuras personas docentes conserva el uso de tablas de datos (48,5%), seguida por las tablas de distribución de una variable con frecuencias ordinarias (21,2%).
Un porcentaje muy bajo no contempla el uso de tablas en la creación de nuevos problemas, tanto en el Problema 1 (7,6%) como en el Problema 2 (4,5%). Estos resultados indican que la modificación o creación de nuevos problemas, a partir de uno resuelto, que involucra el uso de tablas estadísticas, no ha sido una actividad compleja para las futuras personas profesionales en el área
Tabla 3 Frecuencia y porcentaje del tipo de tabla utilizado en el enunciado del nuevo problema
| Tipo de tabla utilizado en el nuevo Problema | Problema 1 | Problema 1 | ||
|---|---|---|---|---|
| Frecuencia | Porcentaje | Frecuencia | Porcentaje | |
| Datos | 32 | 48,5 | ||
| Distribución de una variable con frecuencias ordinarias | 14 | 21,2 | ||
| Distribución de una variable con frecuencias acumuladas | 1 | 1,5 | ||
| Doble entrada o contingencia | 48 | 72,7 | 2 | 3 |
| No utiliza tabla | 5 | 7,6 | 3 | 4,5 |
| No aporta enunciado | 13 | 19,7 | 14 | 21,2 |
| Total | 66 | 100 | 66 | 100 |
Nota: fuente propia de la investigación.
Asignación de NRA a los problemas que construyen las personas participantes
Para responder a la tercera pregunta de investigación (¿cuál es el nivel de razonamiento algebraico implícito en las resoluciones de los problemas propuestos que es reconocido por los futuros profesores?), se observó el grado de corrección (correcto/ incorrecto) de los NRA reconocidos por los futuros profesores, en función de los objetos/ procesos algebraicos identificados. Por ejemplo, P69, en la Figura 12 se presenta un problema creado a partir del Problema 2, cuya resolución involucra objetos intensivos con segundo grado de generalidad y operar con la incógnita implicando un NRA 3, correctamente reconocido y justificado.
Nota: fuente propia de la investigación.
Figura 12 Ejemplo de asignación de NRA a un nuevo problema por el participante P60
En la Tabla 4 se resume el NRA identificado y correctamente asignado por las personas participantes en cada problema. Se aprecia que menos del 50 % de las personas participantes asigna un NRA a los problemas creados. Además, la mayoría de quienes lo hacen lo asignan de manera incorrecta. En el Problema 1 solo un pequeño porcentaje (3,0 %) asigna de forma correcta NRA 4 y NRA 5 a los problemas creados. El NRA mayoritariamente reconocido, en este problema, es el NRA 3 (24,2 %), pero de manera incorrecta, al no identificar de manera adecuada los objetos algebraicos implicados, en particular el trabajo con parámetros involucrados en el uso de la tabla de doble entrada, así como el uso de la definición y los procesos algebraicos de unitarización y representación (simbólica), implícitos en la probabilidad condicionada. Se observaron mejores resultados en el Problema 2, siendo mayor el porcentaje de participantes que asigna correctamente el NRA (24,2 %). Los NRA reconocidos de forma correcta son el NRA 3 (9,1 %) y el NRA 0 (7,6 %). Un ejemplo del reconocimiento correcto y justificado del NRA 3 es el de P60 (Figura 12).
Tabla 4 Frecuencia y porcentaje de asignación de los NRA y corrección de los nuevos problemas
| Problema 1 | Problema 2 | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| NRA | Nivel asignado | Nivel asignado correctamente | Nivel asignado | Nivel asignado correctamente | ||||
| Frecuencia | Porcentaje | Frecuencia | Porcentaje | Frecuencia | Porcentaje | Frecuencia | Porcentaje | |
| Nivel 0 | 6 | 9,1 | 5 | 7,6 | ||||
| Nivel 1 | 3 | 4,5 | 1 | 1,5 | ||||
| Nivel 2 | 8 | 12,1 | 4 | 6,1 | 3 | 4,5 | ||
| Nivel 3 | 16 | 24,2 | 11 | 16,7 | 6 | 9,1 | ||
| Nivel 4 | 2 | 3 | 1 | 1,5 | 1 | 1,5 | ||
| Nivel 5 | 1 | 1,5 | 1 | 1,5 | 1 | 1,5 | 1 | 1,5 |
| Nivel 6 | ||||||||
| Total | 27 | 40,9 | 2 | 3 | 26 | 39,4 | 16 | 24,2 |
Nota: fuente propia de la investigación.
Conclusiones
En este trabajo se presentan los resultados de una acción formativa, en el contexto de la formación de profesorado de matemáticas, dirigida a desarrollar la competencia de resolución y creación de problemas sobre tablas estadísticas y asignación de niveles de razonamiento algebraico a sus resoluciones.
Dicha acción formativa responde a la necesidad de diseñar e implementar propuestas didácticas que ofrezcan oportunidades de aprendizaje matemático efectivo para las futuras personas docentes (Baumanns y Rott, 2022; Silber y Cai, 2021). En tal sentido, la acción formativa implementada ha ofrecido oportunidades de aprendizaje a profesores de matemática en formación y un espacio para el desarrollo de las competencias referidas.
Para evaluar los conocimientos y competencias adquiridas se plantearon tres preguntas de investigación alusivas al desarrollo de las competencias mencionadas.
En relación con la primera ¿cómo resuelven y qué nivel de razonamiento algebraico muestran los futuros profesores de matemáticas en problemas que involucran tablas estadísticas?), quienes participaron evidencian un buen conocimiento matemático en la resolución de los problemas, al utilizar NRA avanzados.
Sin embargo, paradójicamente se observaron mejores resultados en la resolución del Problema 1 que involucraba la probabilidad condicionada y completar una tabla de doble entrada, siendo ambas acciones más complejas que las necesarias para resolver el Problema 2, cuyo resultado se puede obtener utilizando procedimientos meramente aritméticos con NRA 0 (Figura 5). No obstante, el enunciado del problema fomentó el uso de un procedimiento que requería revertir el algoritmo de la media aritmética, lo cual fue difícil, al igual que en Molero et al. (2019). Este resultado sugiere que la adquisición de un nivel adecuado de razonamiento algebraico no implica necesariamente el desarrollo paralelo del razonamiento estadístico, al cual debiera prestarse mayor atención en futuras acciones formativas.
Respecto a la segunda pregunta de investigación (¿cómo modifican estos problemas los futuros profesores para crear otros nuevos?), las personas participantes fueron capaces de crear nuevos problemas a partir de los propuestos inicialmente. La mayoría formuló problemas nuevos dirigidos a la construcción de tablas, en algunos casos, a partir de enunciados verbales. Asimismo, la mayoría priorizó la creación de problemas que involucraran tablas de doble entrada y tablas de datos, en línea con los problemas propuestos.
En lo relativo a la tercera pregunta (¿cuál es el nivel de razonamiento algebraico implícito en las resoluciones de los problemas propuestos que es reconocido por los futuros profesores?), a pesar de reconocer niveles altos de NRA en los problemas planteados, presentaron grandes dificultades en su correcta identificación y justificación, así como lo observado por Tizón-Escamilla y Burgos (2023).
En resumen, la acción formativa implementada con profesores de matemática en formación ha permitido observar un desarrollo parcial de las competencias de resolución y creación de problemas, caracterizados por el uso de tablas estadísticas, así como de la competencia de análisis en el reconocimiento de NRA implicados en tales resoluciones. Asimismo, se ha podido observar la necesidad de mejorar la acción formativa de modo que permita un desarrollo más completo tanto de creación de problemas, como de análisis de los NRA, que forman parte del análisis de las prácticas operativas y discursivas involucradas en la resolución de problemas y reconocimiento de los objetos y procesos matemáticos que surgen de dichas prácticas en el modelo CCDM (Font et al., 2022; Godino et al., 2017).
En este orden de ideas, consideramos que los resultados mostrados constituyen un aporte de interés para un incipiente ámbito de estudio como lo es la resolución y rediseño de problemas, que involucran el uso de tablas estadísticas para el desarrollo de competencias profesionales del profesorado de matemáticas en formación.
Para finalizar, reconocemos las limitaciones del estudio realizado, tanto por el tamaño de la muestra, como por el tipo de problemas trabajados, lo cual implica asumir el compromiso para continuar en el desarrollo de esta línea de investigación, analizando otros problemas en que, junto al conocimiento algebraico, se requiera poner en práctica en mayor medida el conocimiento estadístico. De igual manera, animamos a otros investigadores a proseguir, con el fin de que avanzar en la obtención de resultados más específicos y pertinentes que permitan contribuir a la mejora de los conocimientos y competencias didáctico-matemáticas del profesorado.
Financiamiento
PID2022-139748NB-I00 financiado por MICIU/AEI/10.13039/501100011033 y por FEDER, UE. Fondo de enlace RED2199, proyecto fortalecimiento de la investigación y la formación avanzada en educación en el sistema de universidades estatales RED 21995, PFUE 2021.
Declaración de la contribución de las personas autoras
Todas las autoras afirmamos que se leyó y aprobó la versión final de este artículo. Los roles según CRediT fue: J. D. P: conceptualización, curación de datos, análisis formal, metodología, redacción - revisión y edición. C. B.: análisis formal; redacción - borrador original, redacción - revisión y edición. M. R.: validación, revisión y edición, recursos, visualización. O. V.: revisión y edición, visualización.
El porcentaje total de contribución de este artículo fue el siguiente: J. D. P: 30 %, C. B.: 30 %, M. R.: 20 % y O. V.: 20 %.
