Introducción

Las fallas principales en la superficie de los dientes de los engranajes, están asociadas a la fatiga, como consecuencia de la acción repetida de carga y descarga de dichos dientes durante el funcionamiento del par engranado. El estudio a fatiga no es una ciencia exacta y absoluta, de la cual pueden obtenerse resultados exactos, sino que es un estudio aproximado y relativo (¹, ²). En los engranes este fenómeno no se ha comprendido por completo y es evidente que el estudio de este problema es mucho más complejo que el análisis de falla por flexión (³). Los métodos tradicionales de cálculo basados en criterios simplificados, no dan resultados adecuados en el análisis de situaciones complicadas, de manera que deben de ser aceptadas suposiciones y simplificaciones para que las soluciones pueden ser obtenidas mediante el cálculo manual. El desarrollo de procedimientos establecidos para el diseño de engranajes ha permitido la elaboración de un conjunto de normas, entre las que se destacan la American Gear Manufacturers Association (AGMA) y la International Organization for Standardization (ISO), aplicables a la construcción, control, explotación y cálculo de la capacidad de carga de engranajes. Para predecir el comportamiento del material en la zona de contacto entre los dientes, dichas normas formulan modelos basados en la distribución de presiones de contacto de Hertz para el contacto entre sólidos (⁴). En engranes cilíndricos de diente rectos, los puntos donde las normas antes mencionadas localizan las tensiones máximas de contacto no coinciden. Mientras la ISO considera como punto crítico el punto de rodadura y la AGMA toma el punto de contacto único inferior del piñón, que no coincide con el de rodadura más que en casos auténticamente singulares. Aunque ambas normas se basan en el modelo de Hertz, ninguna de estas coincide con el punto teórico de máxima presión superficial que predice dicho modelo (⁵, ⁶). Por otra parte, el Método de los Elementos Finitos (MEF), parece ser una alternativa más para el cálculo de las tensiones de contacto en engranajes. No obstante, presenta limitaciones, pues muchos de los factores tenidos en cuenta de forma analítica, en el MEF no se pueden considerar. Esta investigación tiene como objetivo comparar las tensiones de contacto en engranajes cilíndricos de dientes rectos, de acuerdo a lo planteado por las normas antes mencionadas, por el criterio de Hertz y los resultados obtenidos mediante elementos finitos. Para ello se analizan diez casos de estudio y los resultados se analizarán estadísticamente. Se calcularán los valores de tensiones en el punto de contacto a partir de diferentes métodos:

Materiales y métodos

Cálculo analítico de los esfuerzos de contacto

El fundamento del cálculo analítico del esfuerzo de contacto se basa en la denominada presión de Hertz que estudia el fenómeno de los esfuerzos que surgen entre dos esferas en contacto bajo una fuerza aplicada. Posteriormente se particularizó dicha teoría para otros casos como el del contacto entre dos cilindros de una longitud determinada. Es en esta teoría en la que se basan los estudios desarrollados por las normas ISO y AGMA para el cálculo de las tensiones de contacto en los flancos de los dientes de los engranes (⁷, ⁸).

Esfuerzo de contacto en dos cilindros según Hertz

Cuando dos cilindros macizos de diámetros D1 y D2 se presionan entre sí bajo la acción de una fuerza (Fn ), se obtiene un área de contacto de forma rectangular igual a dos veces el semiancho del área de contacto (B), la cual se forma por la deformación de las partes en contacto (figura 1). Esta variable se determina según la ecuación (1). Teniendo en cuenta esta variable, la fuerza y la longitud de contacto (l c ), es posible determinar la presión máxima de contacto (Pmáx) en la zona deformada según se plantea en la ecuación (2) (⁹, ¹⁰).

Donde µ1 , µ2 , E1 , E2 corresponden a los coeficientes de Poisson y módulos elásticos respectivamente de los materiales.

Bajo estas condiciones se producen tensiones en las tres direcciones principales (𝜎𝜎!, 𝜎𝜎", 𝜎𝜎# ), pero para este estudio se tomará solo el valor máximo que es cuando una de estas coincide con el valor de (ecuación 3).

El punto de contacto entre los engranajes de diente recto se puede considerar como la zona de contacto entre dos cilindros. En el caso de dichos engranajes, surgen la fuerza normal (Fn ), la cual se descompone en la radial (Fr ), tangencial (Ft ) (figura 2). En el caso de la teoría de Hertz la fuerza a utilizar es Fn mientras las normas ISO y AGMA para el cálculo de los esfuerzos de contacto la fuerza utilizada es Ft (¹¹, ¹²).

Esfuerzos de contacto según las normas ISO y AGMA

Debido a que en la simulación por elementos finitos solo se trabaja con un modelo geométrico ideal, (sin errores de fabricación y montaje), no se tendrán en cuenta en las expresiones de cálculo de las normas ISO y AGMA, los factores que hacen referencia a estos errores, como tampoco los que hacen referencia a la sobrecarga dinámicos de la transmisión. Estas simplificaciones son para que haya igualdad de condiciones entre lo planteado por las normas antes mencionadas y la simulación numérica. Dichas simplificaciones solo tienen valor desde el punto vista teórico, ya que desde el práctico es imprescindible tener en cuenta cada factor. No obstante, estas simplificaciones son necesarias para comparar los resultados según los métodos objeto de estudio ya que así, se consideran los mismos parámetros, por lo cual se pueden comparar los resultados.

Por ello solo se incluirán en las ecuaciones los factores que hacen referencia únicamente a la geometría de la transmisión. Esto se debe fundamentalmente a:

Estas simplificaciones son para poder comparar los resultados teóricos con los obtenidos a partir de la simulación numérica. Teniendo en cuenta lo antes planteado, las ecuaciones para determinar las tensiones de contacto, en engranes rectos de perfil evolvente según las normas ISO y AGMA quedarán tal como se muestran en las ecuaciones 4 y 5 respectivamente.

Según las normas ISO.

Según las normas AGMA.

Donde son los coeficientes de zona, de recubrimiento y de ángulo de hélice res 𝑍𝑍# 𝑍𝑍# - pectivamente. La variable b es el ancho del engrane el cual se considerará igual a consideran la influencia de las propiedades elásticas del material de los dientes del piñón y el engrane y tendrán el mismo valor. Finalmente las variables u, d1 , D, e I son la relación de transmisión, diámetro primitivo, diámetro de paso y el factor de geometría respectivamente.

Punto de aplicación de la presión de contacto en los engranes

Para el cálculo por elementos finitos es necesario determinar las zonas del perfil del diente donde se aplicarán las cargas. Según plantea la ISO, esto sucede en el punto de rodadura, o sea, a una distancia del centro del piñón igual a ! (ecuación 6).

Siendo m y Z1 el módulo y número de dientes del piñón respectivamente. El ángulo β en este caso es igual a 0o.

Por su parte la AGMA plantea que los máximos esfuerzos de contacto suceden en el punto de contacto único inferior del piñón, situado a una distancia del centro de dicho piñón (ecuación 7).

Donde es el radio de finalización de engrane, 𝑟𝑟!", 𝑟𝑟#", 𝑟𝑟!$ son los radios base y primitivos del piñón y la rueda respectivamente. Una vez determinada las distancias del centro del engrane hasta el punto de aplicación de la carga según la norma correspondiente, es posible delimitar la zona de aplicación de la carga, la cual tendrá forma rectangular con un ancho igual a 2 B según lo establecido por Hertz (ecuación 1), mientras que la longitud coincide con el ancho del engrane (figura 3).

De acuerdo a las características del perfil evolvente de los dientes de los engranes, el punto de contacto entre dichos dientes se puede considerar como dos cilindros en contacto, por lo que es aplicable la teoría de Hertz. Para ello sería preciso conocer los diámetros D1 y D2 de estos cilindros en el punto de contacto, de acuerdo a las dos normas estudiadas (ecuaciones 8 y 9). Existen ligeras diferencias entre los resultados del cálculo de dichos diámetros, debido a la forma de calcular las distintas variables presentes en las ecuaciones 8 y 9 de acuerdo a las normas objeto de estudio. Los resultados obtenidos se utilizan en la ecuación 1 para determinar el semiancho del área de contacto.

Donde R_P, R_G son los radios de curvatura del piñón y el engrane respectivamente, mientras que D_oP, D_bP y D p son los diámetros exteriores, de base y de paso del piñón respectivamente y 𝑝𝑝! es el paso base.

Consideraciones para los estudios

Para realizar los cálculos y el posterior análisis de los resultados, se fijaron determinados parámetros, los cuales se tendrán en cuenta para cada variante. Se calcularon 10 variantes las cuales se obtuvieron de la combinación de piñones de 18 y 25 dientes con 5 valores de módulos (m) según la norma ISO y los pasos diametrales equivalentes () según la AGMA, de los cuales se obtuvo el valor normalizado (cuadro 1). El ancho de dichos piñones es 48 mm al igual que los cilindros para el caso de la teoría de Hertz.

Cargas y restricciones

Para la aplicación de la carga a la cual se verán sometidas todas la variantes, se consideró un valor de momento torsor MT de 47,746 N m a partir del cual y conjuntamente con los parámetros geométricos de los engrane a calcular, se determinaron los valores de las fuerzas Ft y Fn . En los cuadros 2 y 3 se muestran los valores de estas fuerzas así como los valores de B y Pmáx para cada variante a calcular según lo planteado por la teoría de Hertz y las normas ISO y AGMA.

Para la simulacion numérica las cargas se aplicaron en las zonas del diente delimitada por dos veces el semiancho del área de contacto B establecido por Hertz (ecuación 1). Las distancias desde el centro del engrane al punto medio del área de aplicación de las cargas, se determina según lo planteado por las normas objeto de estudio y que se especifican en las ecuaciones 6 y 7 y los valores obtenidos para cada variante en los cuadros 2 y 3. Para simplificar el modelo de cálculo, se tomó una porción del engrane que incluye tres dientes, siendo en el diente central donde se aplicará la carga. Se eliminaron todos los grados de libertad del modelo aplicando restricciones en el cubo de la rueda y las caras laterales de la porción de engranaje (figura 4). Con esta simplificación se disminuye el tiempo de cálculo y no se compromete la calidad de los resultados obtenidos, ya que la zona del modelo a analizar se encuentra lo suficientemente alejada de los límites geométricos del modelo, como para que el estado tensional no se vea afectado por la cercanía de las restricciones de acuerdo al principio de Saint Venant. En investigaciones como las desarrolladas por (⁴, ¹²-¹⁴) también utilizan este tipo de simplificación obteniendo resultados satisfactorios, lo cual demuestran su efectividad.

Mallado de los modelos

En gran medida, la exactitud de los resultados depende de las características de la malla del modelo a calcular tal como plantea (⁷, ¹⁵, ¹⁶). Por tal motivo para el mallado de los modelos se escogió un elemento finito sólido tetraédrico de alto orden (10 nodos), con tres grados de libertad por nodo. Para garantizar mayor precisión en los resultados, en la zona de aplicación de carga se utilizó una densidad de malla más fina que para el resto del modelo (figura 5), tal como plantea (¹², ¹⁷). Los modelos se mallaron con un tamaño de elementos de 4 mm mientras que el control de mallado se realizó con un tamaño de elemento de 0,05 mm. Para comprobar la calidad de la malla y con esto la de los resultados, se utilizó el método adaptativo p, el cual utiliza un orden de elemento progresivamente superior. Para los estudios, los resultados serán adecuados cuando la variación del valor de raíz cuadrada de las tensiones en nodos de von Mises es igual o menor al 0,5%.

Para los cálculos a realizar se consideró un acero AISI 4340 el cual es uno de los materiales utilizados para la fabricación de engranajes, por tener propiedades mecánicas acordes a las exigencias del destino de servicio de los mismos. En el cuadro 4 se muestran las propiedades mecánicas de dicho acero.

Resultados

Una vez realizada la simulación numérica teniendo en cuenta los parámetros establecidos por las normas objeto de estudio (cuadros 2 y 3), se obtuvieron los valores de tensiones para cada variante propuesta. La variable que se tiene en cuenta para la comparación de los posteriores resultados fue la tensión de von Mises, coincidiendo esto con los estudios realizados por (⁴). A continuación, se muestran los resultados para el primer caso de estudio (figura 6).

De forma similar se procedió a realizar el cálculo de cada variante a partir de los métodos establecidos en esta investigación. En el cuadro 5 se muestran los valores de tensiones obtenidos para cada variante según los parámetros correspondientes a cada caso y teniendo en cuenta los parámetros de cada norma.

A partir de los resultados obtenidos, se determinó las medias globales de cada caso de estudio (cuadro 6), observándose que el mayor valor corresponde a las tensiones según la norma AGMA.

Para poder comparar los resultados, se analizaron las diferencias entre las medias de los resultados de las tensiones calculadas por cada método, por lo que se aplicó un procedimiento de comparación múltiple para determinar las medias que son significativamente diferentes unas de otras. Estos resultados se exponen en la figura 6 y los valores obtenidos se muestran más detalladamente en el cuadro 7.

Al analizar las diferencias entre las medias (cuadro 7), no se encontraron diferencias estadísticamente significativas entre ningún par de medias a un nivel de confianza de un 99,0 %. Esto demuestra que el método de los elementos finitos, puede ser una alternativa para el cálculo de las tensiones de contacto en engranajes cilíndricos de dientes rectos.

Se puede destacar que los resultados obtenidos entre la ISO - ISO Hertz tienen un mejor comportamiento que los de la AGMA - AGMA Hertz, lo cual demuestra que la norma ISO para el cálculo de tensiones de contacto, se asemeja más a lo planteado por Hertz que la norma AGMA. Los resultados por el método de los elementos finitos para las dos normas analizadas se asemejan más a los resultados obtenidos por Hertz, que es la teoría que sirve como base a las normas antes mencionadas. Por último, los resultados obtenidos por el método de los elementos finitos se acercan más a los de la norma ISO que los obtenidos por la AGMA.

Conclusiones

Al comparar los resultados obtenidos por los diferentes métodos de cálculo, no se encontraron diferencias estadísticamente significativas para un nivel de confianza de un 99 % lo cual pone de manifiesto la efectividad de cada método. Los resultados obtenidos de acuerdo a lo planteado por la norma ISO se asemeja más a los obtenidos a partir de la teoría de Hertz. En la investigación se demostró que la simulación numérica resulta ser una alternativa más para el cálculo de tensiones de contacto en engranes cilíndricos de diente recto, lo cual puede realizarse con un software de cálculo por elementos finitos. La principal limitación de este método está dado por las simplificaciones que hay que realizar, sin embargo se pueden obtener como resultado un gran número de variables como diferentes tipos de tenciones, deformaciones, desplazamientos que con los otros métodos se obtienen. Esto serviría para entender mejor el estado tensional al que se ve sometido un engrane durante su funcionamiento.