Indicadores de idoneidad adaptados al tema de cuadriláteros en cuarto año

El análisis de los procesos instruccionales sobre el tema de cuadriláteros en primaria requiere adaptar y proponer indicadores de idoneidad específicos, de acuerdo con el contexto educativo costarricense. Se trata de aplicar resultados de investigaciones didáctico-matemáticas sobre cuadriláteros que son el referente para el análisis de los procesos que aquí consideramos. A continuación, se muestran estos indicadores en cada idoneidad parcial.

Idoneidad epistémica

El significado de referencia de un objeto matemático (cuadriláteros) es relativo al nivel educativo, así como a los tipos de problemas, la diversidad y adecuación de las representaciones, definiciones, procedimientos, proposiciones y argumentos que los sustentan (^{Godino, 2013}). Un proceso instruccional sobre cuadriláteros posee idoneidad epistémica si los significados institucionales pretendidos o implementados representan adecuadamente al significado de referencia. En la Tabla 1 se presentan los indicadores (I) epistémicos (I1I24) adaptados de la GALT-Matemáticas y su fundamento teórico. El componente “conflictos epistémicos” cuyo indicador refiere a “Los contenidos, situaciones problema y sus soluciones, conceptos, proposiciones, lenguaje, etc., se presentan de forma correcta sin errores, contradicciones, ambigüedades” considerado en ^{Castillo et al. (2022}) no se incluye al final de la tabla, pues este se valora por aparte en cada componente; es decir, para las situaciones-problemas, conceptos, proposiciones, etc., se valora su presentación correcta, sin errores ni contradicciones véase los indicadores (I1, I4, I9, I12, I16, I18).

Idoneidad cognitiva

Un proceso instruccional de los cuadriláteros posee idoneidad cognitiva si se contemplan los conocimientos previos de los alumnos, las diferencias individuales, la progresión de los aprendizajes y la evaluación (^{Godino, 2013}). En la Tabla 2 se presentan los indicadores cognitivos (I25-I32) adaptados y su fundamento teórico.

Idoneidad afectiva

Los indicadores de idoneidad afectiva (I31-I38) no sufren cambios respecto de la GALT-Matemáticas (^{Castillo et al., 2022}, p. 12), por lo que no se presentan. Los indicadores segundo, cuarto y último de ^{(Castillo et al., 2022}, p. 12) no se consideran aquí, debido a que refieren explícitamente a acciones de los alumnos en clase u opiniones de los alumnos que no admiten valoración en el libro en sí mismo; por otro lado, el componente de evaluación de afectividad se considera desde el punto de vista cognitivo. Aclaramos que un proceso instruccional posee idoneidad afectiva si se promueven actitudes positivas hacia las matemáticas en torno al tema, se consideran las emociones y creencias sobre las matemáticas, así como el valor de cualidades (estéticas y de utilidad) hacia los cuadriláteros, y se promueven situaciones que permitan valorar la utilidad del contenido en la vida diaria y profesional.Idoneidad instruccional (interaccional y mediacional)

Idoneidad instruccional (interaccional y mediacional)

El término idoneidad instruccional refiere a la idoneidad interaccional y mediacional en conjunto. Un proceso instruccional posee idoneidad interaccional si los modos de interacción permiten identificar y resolver conflictos de significado y favorecen la autonomía en el aprendizaje. Por otro lado, posee idoneidad mediacional, si existe disponibilidad y adecuación de los recursos materiales y si existe una secuenciación de contenidos y actividades adecuada. En la Tabla 3 se muestran los indicadores instruccionales (I41-I48) adaptados, junto con su fundamento teórico. Se aclara que, en relación con ^{Castillo et al. (2022}), se omite el componente “evaluación formativa”, ya que se considera en la faceta cognitiva en el componente “evaluación”.

Idoneidad ecológica

La idoneidad ecológica de un proceso instruccional implica que los contenidos y su desarrollo se correspondan con las directrices curriculares ^{(MEP, 2012}) (ver Tabla 4), que estos aparezcan relacionados con otros contenidos intra e interdisciplinares, que se contemple la innovación y la adaptación socioprofesional y se fomente la educación en valores. Los indicadores ecológicos (I47- I51) no sufren cambios respecto a ^{Castillo et al. (2022}, p. 15).

Descripción de la lección del libro

En el libro se inicia con dos problemas de identificación de cuadriláteros (p. 112). Seguidamente se define cuadrilátero y se representan gráficamente sus elementos (p. 113), un código QR2 permite acceder a un esquema de la clasificación en paralelo gramos y no paralelogramos en el que, además, se muestran las propiedades de cada cuadrilátero, y un enunciado que implica usar GeoGebra para caracterizar cada cuadrilátero a partir de las diagonales. En las páginas 114 y 115 se plantean seis ejercicios de identificación de elementos de los cuadriláteros, después se define paralelogramo y no paralelogramo y se proponen representaciones gráficas. En la página 116 se exponen 5 ejercicios para identificar y clasificar en paralelogramos o no paralelogramos, determinar semejanzas y diferencias y definir algunos cuadriláteros. Posteriormente se propone la construcción del cuadrado y rombo con regla y compás, y se solicita replicar los pasos (pp. 118-119). Luego se plantean 3 ejercicios, que implican trazar cuadriláteros (pp. 120-121). Finalmente, 4 ejercicios para reconocer y dibujar cuadriláteros (pp. 122-123).

Descripción del proceso instruccional de la D.E.

En la lección 1 la D.E. formuló preguntas orales a los alumnos para evaluar conocimientos previos antes de usar el libro. Luego, explicó los ejercicios de las páginas 112 y 113, si detectaba que presentaban alguna dificultad, explicaba con más detalle.

Después, siguió lo estipulado en el libro hasta la página 114, solo que omitió el código QR (p. 113). En la lección 2, la D.E. propuso un ejercicio distinto a los del libro (Figura 1), posteriormente solicitó a los niños dibujar con regla varios cuadriláteros con medidas específicas de lados, lo cual no estaba indicado en el libro.

Figura 1 Situación propuesta por D.E. 

La D.E. tomó tiempo para explicar el uso de la regla, aclarando que la medida debe hacerse a partir de 0. Posteriormente ella propuso otros ejercicios similares a los del libro. Finalmente, utilizó la página 115 del libro para explicar la definición de paralelogramo y no paralelogramo y resolver los ejercicios. En la lección 3, siguió la secuencia del libro sin innovaciones del contenido, repasó la página 115 y trabajó los ejercicios de las páginas 116 y 117, luego revisó en la pizarra el trabajo. Finalmente, en la lección 4, omitió las páginas 118 y 119 del libro, en donde se proponían 2 ejercicios para construir con regla y compás 1 cuadrado y 1 rectángulo. Esto la llevó a modificar la instrucción del ejercicio 1 (p. 120), en cuanto a la medida del cuadrado y del rectángulo, así como del uso de la regla, pero no del compás, como se proponía en el libro. Trabajó los ejercicios de las páginas 120-123 en el aula e invirtió tiempo en explicar cómo trazar figuras en la cuadrícula y, en revisar el trabajo.

Descripción del proceso instruccional de la D.N.

En la lección 1 la D.N. comenzó con una situación diferente a las del libro (Figura 2), propuso trabajar con las páginas 112 y 113 del libro y terminó la clase con un resumen de lo visto. Al igual que la D.E. omitió el código QR (p. 113). En la lección 2, hizo un uso indirecto del libro (p. 115), la D.N. no indicó leer dicha página, las definiciones y representaciones que escribió en la pizarra son las mismas para los paralelogramos y no paralelogramos. Amplió la propuesta del libro con preguntas guía y con una situación en la cual solicitó construir paralelogramos con plastilina, lo que permitió manipulación directa de la representación del cuadrilátero.

En la lección 3 usó los ejercicios de las páginas 115 y 116 del libro. Escribió en la pizarra, de forma diferente al libro, definiciones de cada cuadrilátero. Finalmente, continuó con los ejercicios de la página 117. En la lección 4 empezó revisando los ejercicios que los niños habían trabajado previamente, llamándolos de manera individual a su escritorio. Luego, escribió en la pizarra: en todo cuadrilátero, la suma de los ángulos internos es igual a 360°, esta es una propiedad no considerada en el libro, ni en el currículo para 4.° año. Pidió que anotaran la medida de cada ángulo faltante en algunas figuras, repasó lo visto hasta el momento y empleó los ejercicios de las páginas 120 y 121 del libro. En la lección 5 usó los ejercicios de las páginas 122 y 123 del libro, pero realizó una ampliación con actividades de repaso para ejecutar en el cuaderno.

Fuente: fotografía tomada durante la observación.

Figura 2 Situación propuesta por D.N. 

Ejemplificación del análisis

Puede observarse la Figura 3, que muestra cómo se valora el I1 en el libro, y en los procesos de las docentes.

Fuente: elaboración propia.

Figura 3 Ejemplo de análisis. 

Análisis de la idoneidad del libro

En la Tabla 5 se muestra la valoración numérica de los indicadores, el promedio de cada idoneidad parcial y de la general y su respectivo nivel de idoneidad según sea, baja, media o alta. Se puede observar que la idoneidad mediacional es la única con un nivel alto, y la ecológica es la idoneidad con el promedio más bajo. En términos generales la idoneidad didáctica del libro es media.

A continuación, referimos a las fortalezas, que se entienden como los indicadores con una valoración 2. También describimos las debilidades, que corresponde a los indicadores con valoración 0 o los indicadores con valoración 1, en donde se identifican aspectos incorrectos según el significado de referencia; es decir, conflictos (C) o alguna carencia o faltante (F) considerando las directrices curriculares. En la Tabla 6 concretamos las principales debilidades, conflictos y faltantes del texto reconocidos tras el análisis del libro y, en la Tabla 7 se muestran las fortalezas de este.

En cuanto a la idoneidad epistémica, existen situaciones en el libro que son confusas o incorrectas (C1-I1-I2):

Ejercicio 1, (p. 112). En el enunciado se solicita asociar con líneas imágenes de la vida real con representaciones de cuadriláteros, es confuso identificar solo un cuadrilátero en la bicicleta y el lego (Figura 4). La bicicleta no debe modelizarse como 1 cuadrilátero, en el caso del lego, puede modelizarse como 2 cuadriláteros.

Ejercicio 3, (p. 121). El ejercicio solicita dibujar, en una cuadrícula ciertas figuras, por ejemplo “un cuadrado con 3 unidades de lado”, o “un romboide”, en el segundo caso, sin especificar las medidas de sus lados, a pesar de que podría emplearse la misma unidad de medida, no se aclara que la medida de cada lado de los cuadrados de la cuadrícula equivale a una unidad, sino que el lector lo debe asumir.

Extraído de libros para todos (2023, p. 112).

Figura 4 Ejercicio 1, asociar con líneas. 

Ejercicio 1, (p. 122). Se solicita relacionar figuras geométricas con su nombre, sin embargo, existen 2 figuras repetidas (romboides), ninguna representación, a ex cepción del cuadrado, cumpliría con el concepto de rombo.

Además, en el libro no se incluyen problemas que permitan al alumno realizar clasificaciones inclusivas, situaciones manipulativas y situaciones para que los alumnos propongan problemas por sí solos (C1-I1-I2). En cuanto al conflicto C2-F1-I3 un ejemplo de representaciones de cuadriláteros que carece de explicaciones del significado de las marcas de los lados y ángu los se observa en la Figura 5. Nótese que la representación del cuadrado posee un error en las marcas de congruencia de los lados, pues son diferentes.

Figura 5 Representaciones incorrectas. 

La definición de cuadrilátero en el libro “figura plana formada por cuatro lados” p. 113), no descarta a la Figura 6, resultando en una definición incompleta y, por ende, incorrecta (I8). En efecto, ^{Moise y Downs (1996}) afirman que un cuadrilátero es una figura plana de 4 lados, donde sus lados no deben cruzarse uno al otro. Además, en el libro trapecio “es un no paralelogramo que tiene un par de lados con diferente medida y sus ángulos opuestos con diferentes medidas” (p. 117). En dicha definición se excluye el trapecio escaleno, así como la posibilidad de generalizar que “cualquier paralelogramo es también un trapecio”, y, por lo tanto, de clasificarlos inclusivamente (I8).

Fuente: elaboración propia.

Figura 6 Contraejemplo. 

La variedad de definiciones es poca (I9), únicamente hay 2 definiciones distintas de rombo. Además, se reconocen faltantes en tanto no aparecen proposiciones que, según el ^{MEP (2012)}, se deberían abordar: un cuadrilátero es un paralelogramo si ambos pares de lados opuestos son congruentes; o si 2 lados opuestos son paralelos y congruentes; o si las diagonales se bisecan. Tampoco están explicitas las propiedades según sus diagonales, adicionalmente es conflictivo indicar que “la altura es un elemento de un cuadrilátero en general”, esto debido a que la altura no existe para el trapezoide, lo que puede generar dificultades al generalizar dicha proposición (C3F2-I12). Por otro lado, los procedimientos para realizar clasificaciones inclusivas o para construir cuadriláteros en GeoGebra no se detallan; sin embargo, esto último es un requerimiento para resolver un ejercicio del código QR (F3-I14).

En las páginas 118 y 119, se explica el procedimiento de construcción con regla y compás con apoyo visual, pero no se argumenta por qué la secuencia de pasos conlleva a construir un cuadrado o rombo (I16). De modo similar, en la página 115 (Figura 5), existe apoyo visual para explicar las proposiciones, pero no se promueve verificarlas (I16). Ninguna situación o contenido del libro favorece que se justifiquen los enunciados o proposiciones (I17). En el libro se encuentran situaciones referentes al significado intuitivo-informal y analítico, pero son pocas las situaciones que se asocien al significado deductivo-informal, esto es una carencia en donde, si los alumnos no tienen la oportunidad de conocer esta aproximación, cuentan con una limitada comprensión del significado (F4-I19). Por ejemplo, sí se incentiva a los alumnos a plantear definiciones, pero no a verificar la veracidad de proposiciones o a realizar clasificaciones inclusivas.

En cuanto a la comunicación y argumentación, únicamente un ejercicio en código QR promueve formular conjeturas sobre los cuadriláteros, no obstante, esto implica explorar, pero no justificar (I20). Finalmente, no se encuentran situaciones que permitan realizar generalizaciones de relaciones de inclusión, por ejemplo, que les permita afirmar que: el rectángulo que tiene sus lados iguales se llama cuadrado (I22).

En cuanto a la idoneidad cognitiva, dado que las dificultades al realizar la tarea de clasificación son mayores cuando se tratan de clasificaciones jerárquicas o de inclusión, y que esto puede deberse a que, en primaria, se suele dar énfasis exclusivamente a clasificaciones por partición (^{Brunheira y Ponte, 2019}; ^{Barrantes y Zapata, 2008}; ^{De Villiers et al., 2009}), resulta una carencia del libro, que puede generar dificultades futuras (F5-I27). De modo similar se evidencia la limitada presencia de situaciones en un nivel 3 de razonamiento de Van Hiele: existen únicamente dos de ellas, una para que los alumnos planteen definiciones, y otra para que caractericen cuadriláteros a partir de las propiedades de las diagonales, las demás corresponden a un nivel 1 o 2.

Por otro lado, en el texto no existe advertencia sobre errores o dificultades, por ejemplo, inicialmente se usan solo figuras y ejemplos prototipos, y aunque después se usan algunos ejemplos diferentes, no se aclara que son distintas representaciones para un mismo tipo de cuadrilátero. Según ^{Carrillo et al. (2016}) gran parte de los errores y dificultades asociadas al aprendizaje de figuras geométricas en los primeros cursos de Educación Primaria se deben a un uso excesivo de los libros, que ofrecen insuficientes imágenes de los conceptos, además de no proporcionar suficiente importancia a la información visual. Los ejemplos usuales suelen presentar algún atributo visual estereotipado generando formación de prototipos cerrados (^{Barrantes y Zapata, 2008}; ^{Gutiérrez y Jaime, 2012}; ^{Ortega y Pecharromán, 2015}). Estos hechos se reflejan en el libro analizado.

En cuanto a la idoneidad afectiva, en relación con el I33, se propone un ejercicio para asociar ilustraciones de objetos reales con tipos de cuadriláteros, y otro para encontrar diferentes cuadriláteros en una figura compuesta (Figura 7). Estas ilustraciones podrían considerarse motivadoras, las primeras al relacionarse con el contexto real, la segunda al resultar en un desafío. Sin embargo, no se encuentra otro elemento motivador. En el resto de los indicadores n se encuentra evidencia, en el texto, para valorarlos con un 2 o un 1.

Extraído de ^{Asociación libros para todos (2023}, p. 123)

Figura 7 Ejemplo de ilustración. 

En lo interaccional, no existen múltiples ejemplos sobre un mismo cuadrilátero, lo que puede generar prototipos, así como la presentación clara de las propiedades de los cuadriláteros con respecto a sus diagonales (F7-I39).

En cuanto a la idoneidad ecológica, se evidencia el F8-I47, debido a que explícitamente no se presentan propiedades de los cuadriláteros en relación con las diagonales, esto es relevante para poder abordar la habilidad 5 propuesta por el MEP (2012) que indica “reconocer propiedades de cuadriláteros referidas a los lados, los ángulos y las diagonales”.

En cuanto a las fortalezas del libro (Tabla 7), en lo epistémico, solo uno de 24 indicadores en esta faceta (I5) se le asignó la valoración máxima. En cuanto al aspecto cognitivo, el libro contempla conocimientos previos como definiciones de algunos cuadriláteros, sus elementos y la definición de segmentos paralelos previo al estudio de los paralelogramos (I25). Asimismo, considerando que los estudiantes de primaria se encuentran entre el nivel 1 y 3 del modelo de Van Hiele, por lo que proponer tareas de los niveles 4 y 5 no es recomendable (^{Segade, 2022}), se puede resaltar que los contenidos pretendidos tienen una dificultad manejable (I26), pues la mayoría de las situaciones corresponden con los niveles 1 y 2.

En cuanto al I26, existen 11 ejercicios que permiten soluciones diferentes: Ejercicios 4 y 5 (p. 117), solicitan completar un cuadro comparativo con semejanzas y diferencias entre parejas de cuadriláteros, y formular una definición para rectángulo, trapezoide y romboide.

Ejercicios 1 y 2 (p. 120); 3c, 3d, 3f y 3g (p. 121); 2 (p. 122), 3 (p.123), solicitan dibujar cuadriláteros con ciertas características.

Ejercicios 4 (p. 123), implica visualizar cuadriláteros en una figura compuesta y anotar sus nombres.

Finalmente, se promueve el uso de materiales manipulativos (la regla, el compás, papel cuadriculado, la escuadra) para trazar cuadriláteros; y el uso de GeoGebra (I44).

Análisis de la idoneidad de los procesos instruccionales por las docentes

En la Tabla 8 se muestran los promedios y los niveles de idoneidad tras analizar los procesos instruccionales de las docentes, en este caso se indica si resultó en un nivel superior al del libro (indicado como +L), inferior (-L) o igual (=L).

La idoneidad general del proceso instruccional de ambas docentes resultó ser menor que la del libro, la idoneidad del proceso de la D.N. es mayor que la idoneidad del proceso de la D.E. aunque, en ambos casos, no es una diferencia significativa. Para comprender mejor qué acciones llevaron a las docentes a tener una mayor (Tabla 9) o menor (Tabla 10) idoneidad que la del libro, referimos a los indicadores, que al valorarse, implican un cambio respecto de la valoración del plan previsto (libro). En las respectivas tablas se proporciona una justificación de por qué resultó en mayor o menor valoración.

En relación con el I1, en el ejercicio 1 (p. 112), la D.E. interpretó que la bicicleta se asociaba al romboide y que el lego se asociaba al trapezoide, por su parte la D.N. indicó que ambos se correspondían con el trapezoide. Además, en el ejercicio 1 (p. 122) las docentes y los niños asociaron la representación verbal rombo con la representación gráfica de un romboide. Con respecto a I3, ambas docentes cometen errores adicionales a los del libro al emplear representaciones matemáticas de los cuadriláteros; sin embargo, en relación con las representaciones resultaron ser más conflicti vas en las lecciones observadas. Por ejemplo, la D.N. empleó marcas de congruencia para indicar paralelismo de los lados de un trapecio, xistencia de errores adicionales al libro.

así como dibujar los lados del cuadrado y rombo como rectas (Figura 2), o para representar la altura solo en posición vertical e incluso afirmar que únicamente existe una altura, lo cual se puede vincular con la creación de prototipos, lo que podría ocasionar dificultades de aprendizaje (^{Fujita, 2012}; ^{Monaghan, 2000}). También es confusa la representación del trapezoide (Figura 8), en donde no es claro que los lados no sean paralelos. Un aspecto para indicar es que la D.N. incorporó el uso de representaciones manipulativas al incluir el uso de la plastilina, pero los niños realizan figuras que no se diferencian entre sí, con lo cual podría resultar conflictivo el uso de este material, si involucra descuidar las propiedades.

Por su parte la D.E. siempre marcó las bases de los cuadriláteros como lados inferiores, y usó una representación estándar de un triángulo para referir a solo una altura, lo que resulta conflictivo si los alumnos no comprenden que existen tres alturas en un triángulo, y que la base, en realidad puede ser cualquier lado. En el rombo marcó incorrectamente la altura como la diagonal mayor; además, representó el trapezoide de modo incorrecto (como un trapecio, Figura 8), y afirmó que, en el trapezoide un par de lados opuestos son paralelos. También indicó que un trapecio como el de la Figura 9 es rectángulo, pues al trazar la altura se forma el ángulo recto, indica “cuando yo trazo la altura de este trapecio, tengo que trazarla adentro, y aquí se me forma un ángulo recto ¿cierto? (dibuja el símbolo de perpendicular)”.

Fuente: fotografía tomada durante la observación.

Figura 8 Representación Trapezoide. 

Fuente: fotografía tomada durante la observación.

Figura 9 Representación Trapezoide rectángulo. 

Al respecto del I11, la D.E. realizó enunciados conflictivos y erróneos, por ejemplo, indicó: “en un rectángulo los lados son diferentes, unos son cortos y los otros largos”, “la base y la altura de un triángulo y cuadrilátero siempre son iguales, siempre van a tener la misma posición”, “en el trapecio y trapezoide no tienen todos sus lados paralelos, sólo un par”, o bien, refiriéndose a las diagonales del rombo indicó “este lado es más largo y esta parte más corta”. En cuanto a los conceptos (I8), ambas docentes propusieron definiciones contempladas en el libro, pero, de forma diferente. No obstante, algunas de las definiciones proporcionadas pueden ser incorrectas o confusas. Por ejemplo; la D.E. afirma que “el rombo es como un cuadrado pero inclinado” y “el trapecio tiene mínimo un lado paralelo”, la forma de referir a dichos cuadriláteros difiere de las definiciones del libro que indica: el rombo “tiene 4 lados y ángulos iguales 2 a 2” y el trapecio “sólo tiene dos lados paralelos” (código QR).

La D.N. define los cuadriláteros como “figuras que tienen 4 lados, y 4 vértices”, romboide como “tiene lados opuestos paralelos y ángulos opuestos no rectos” y al trapezoide como “no tiene lados paralelos, ni de igual medida”. En el caso del romboide no se indica si son ambos pares de lados opuestos paralelos, ni se refiere a la medida de sus lados o ángulos, como lo hace el autor del libro “romboide: lados y ángulos iguales dos a dos”; por otro lado, en el caso del trapezoide restringe la posibilidad de considerar trapezoides simétricos, aspecto que en el libro no se hace “trapezoides: los lados no son paralelos”. En cuanto a la definición de cuadrilátero, se debería especificar que los lados solo se intersecan en sus extremos, la definición al igual que la del libro “cuadrilátero: figura plana formada por cuatro lados” (p. 113) es incompleta.

En general, podemos afirmar que los conflictos, faltantes y debilidades del libro, explicados antes (Tabla 6), fueron, en su mayoría, realmente transmitidos a los niños. En efecto, en todas las idoneidades, a excepción de la ecológica y solo en el caso de la docente experta, las docentes obtuvieron un nivel de idoneidad inferior a los niveles del libro. Particularmente las docentes no corrigieron ninguna situación problema, tampoco presentaron de forma correcta y completa el concepto de cuadrilátero y de trapecio, lo que muestra, incluso, dificultades mayores para definir correctamente otros conceptos. Además, no refirieron al significado de las marcas de congruencia (p. 115), no aclararon que la ubicación del nombre dentro de la figura no representa área. En cuanto a las carencias o faltantes, se evidencia que cuando algún contenido no se consideró en el libro, este no se abordó por las docentes, a pesar de considerarse en las disposiciones curriculares.

Financiamiento

Universidad de Costa Rica, Costa Rica. C3198. Pry01-1864-2023.