On the Cramér–von Mises statistic
Pablo Maríınez-Camblor*+ Carlos Carleos†* Norberto Corral‡* ]]>
*Dirección para correspondencia
Resumen Uno de los criterios más utilizados para comparar funciones es el introducido por los investigadores Harald Cramér y Richard Edler von Mises y conocido como criterio de Cramér–von Mises (CM) siendo aplicado a problemas que van desde la bondad de ajuste de una distribución hasta la comparación de la igualdad entre cópulas. En este trabajo, se aplican procesos empíricos para la obtención de la distribución asintótica de la generalización del estadístico CM al problema de comparación de k-muestras independientes propuesta por Kiefer. Se estudia la calidad de esta aproximación y se indica como, dado un problema concreto, aproximar la significación final. Palabras clave: Criterio de Cramér–von Mises, procesos empíricos, comparación de k-muestras Abstract Probably, one of the most useful criterions in order to compare distribution functions is the one introduced by the researchers Harald Cramér and Richard Edler von Mises which is known as Cramér-von Mises criterion (CM). It has been applied on a vast variety of problems. In this work, the theory of empirical processes is applied in order to obtain the asymptotic distribution for the generalization to the k-sample problem of CM proposed by Kiefer. The quality of this approximation is also studied and some indications about how to obtain an approximation to the final P-value are also included. ]]>
Keywords: Cramér–von Mises criterion, empiric process, k-sample problem. Mathematics Subject Classification: 60E05, 62G10.
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Referencias ]]>
1 Abramowitz, M.; Stegun, I.A. (1965) Handbook of Mathematical Integrals. Dover, New York. [ Links ]
2 Adler, R.J. (1990) An introduction to continuity, extrema and related topics for general Gaussian processes, IMS Lecture Notes-Monograph Series, 12, Institute of Mathematical Statistics, Hayward, California. [ Links ]
3 Alkarni, S.H.; Siddiqui, M.M. (2001) “An upper bound for the distribution function of a positive definite quadratic form”, Journal of Statistical Computation and Simulation 69(1): 51–56. [ Links ]
4 Anderson, T.W.; Darling, D.A. (1952) “Asymptotic theory of certain ‘Goodness of Fit’ criteria based on stochastic processes”, Annals of Mathematical Statistics 23: 193–212. [ Links ]
5 Anderson, T.W. (1962) “On the distribution of the two-sample Cramér-von Mises criterion”, Annals of Mathematical Statistics 33(3): 1148–1159. [ Links ]
6 Cramér, H. (1928) “On the composition of elementary errors”, Skandinavisk Aktuarietidskrift 11: 141–180. [ Links ]
7 Csörgó, S.; Faraway J.J. (1996) “The exact and asymptotic distributions of Cramér-von Mises statistics”, Journal of the Royal Statistics Society B, 58(1), 1892–1903. [ Links ] ]]>
8 Deheuvels, P. (2005) “Weighted multivariate Cramér-von Mises-type statistics”, Afrika Statistika 1(1): 1–14. [ Links ]
9 Kiefer, J. (1959) “k-Samples analogues of the Kolmogorov-Smirnov, Cramér-von Mises tests”, Annals of Mathematical Statistics 30: 420–447. [ Links ]
10 Komlòs, J.; Major, J.; Tusnády, G. (1975) “An approximation of partial sums of independent RV’s, and the sample DF.I”, Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete 32: 111–131. [ Links ] ]]>
11 Koziol, J.A.; Green, S.B. (1976) “A Cramér-von Mises statistics for randomly censored data”, Biometrika 63: 465–474. [ Links ]
12 Martínez-Camblor, P. (2008) “Tests de hipótesis para contrastar la igualdad entre k poblaciones”, Revista Colombiana de Estadística 31(1): 1–18. [ Links ]
13 Martínez-Camblor, P.; Carleos, C.; Corral, N. (2011) “Powerful nonparametric statistics to compare k independent ROC curves”, Journal of Applied Statistics 38(7): 1317–1332. [ Links ]
14 Öztürk, Ö.; Hettmansperger, T.P. (1997) “Generalised weighted Cramér-von Mises distance estimators”, Biometrika 84(2): 283–294. [ Links ]
15 Rémillar, B.; Scaillet A.O. (2009) “Testing for equality between two copulas”, Journal of Multivariate Analysis 100(3): 377–386. [ Links ]
16 Sabato, E. (2004) España en los Diarios de mi Vejez. Seix Barral, Barcelona. [ Links ]
17 Schmid, F.; Trede, M. (1996) “An L1–variant of the Cramér-von Mises test”, Statistics & Probability Letters 26(1): 91–96. [ Links ] ]]>
18 Tomatz, L. (2002) “On the distribution of the square integral of the brownian bridge”, Annals of Probability 30(1): 253–269. [ Links ]
19 Viollaz, A.J.; Rodríguez, J.C. (1996) “A Crámer-von Mises type goodness-of-fit test with asymmetric weight function. The Gaussian and exponential cases”, Communications in Statistics. Theory and Methods 25: 235–256. [ Links ]
20 Van der Vaart, A.W. (1998) Asymptotic Statistics. Cambridge University Press, London. [ Links ] ]]>
21 von Mises, R. (1931) Wahrscheinlichkeitsrechnung. Deuticke, Vienna. [ Links ]
*Correspondencia a: Pablo Maríınez-Camblor. Oficina de Investigación Biosanitaria del Principado de Asturias, C/Rosal 7 bis, 33009 Oviedo, España. E-mail: pmcamblor@hotmail.com Carlos Carleos. Departamento de Estadística e Investigación Operativa y Didáctica de la Matemática, Facultad de Ciencias, Universidad de Oviedo – Campus de Llamaquique c/ Calvo Sotelo s/n 33007 Oviedo, España. E-mail: carleos@uniovi.es Norberto Corral. Misma dirección que/Same address as C. Carleos. E-mail: norbert@uniovi.es
*Oficina de Investigación Biosanitaria del Principado de Asturias, C/Rosal 7 bis, 33009 Oviedo, España. E-mail: pmcamblor@hotmail.com †Departamento de Estadística e Investigación Operativa y Didáctica de la Matemática, Facultad de Ciencias, Universidad de Oviedo – Campus de Llamaquique c/ Calvo Sotelo s/n 33007 Oviedo, España. E-mail: carleos@uniovi.es ‡Misma dirección que/Same address as C. Carleos. E-mail: norbert@uniovi.es ]]>
Received: 3-May-2010; Revised: 25-May-2011; Accepted: 2-Nov-2011