Psicometría y psicología cognitiva: una vinculación necesaria

De acuerdo con ^{Messick (1995}), los ítems de una prueba no solo deben cumplir con criterios tradicionales tales como una difi cultad apropiada o altos niveles de discriminación, sino también estar justificados en aspectos relevantes del constructo y de los procesos cognitivos involucrados en su resolución.

Diversas investigaciones realizadas por ^{Tatsuoka (1983}), ^{Messick (1984}), ^{Bejar (1984}), ^{Nichols (1994}), ^{Pellegrino, Baxter y Glaser (1999}), ^{Leighton, Gierl y Hunka (2002)}, ^{Mislevy, Steinberg y Almond (2003}), ^{Gorin (2006}), ^{Rupp, Templin y Henson (2010}), entre otros, han planteado la necesidad de combinar principios de la psicología cognitiva con métodos psicométricos para identificar la forma en que las personas organizan su conocimiento, diagnosticar las concepciones erróneas que evidencien y con ello proponer acciones para el mejoramiento de los aprendizajes.

Para ^{Snow y Lohman (1989}) “La evidencia de la psicología cognitiva sugiere que el desempeño en una prueba está constituido por complejos conjuntos de acciones de procesamiento de la información que se adaptan a los requerimientos de la tarea durante el desempeño” (p. 317). Por ello, tales autores identifican cuatro posibilidades de los beneficios de integrar los avances de investigaciones en el ámbito cognitivo con los modelos psicométricos empleados para la interpretación de resultados de pruebas: a) brindar una nueva forma de pensar y comprender las puntuaciones, b) describir los constructos medidos en una prueba mediante componentes cognitivos tales como representación, conocimiento, selección de estrategias y procesos de resolución, c) explicitar los supuestos psicológicos utilizados para diseñar pruebas y asignar puntuaciones, y d) permitir la medición de aptitud, aprendizaje, enseñanza y rendimiento con teorías más unificadas y con mayor poder de predicción en la medición de componentes cognitivos.

De esta manera, la vinculación entre la psicología cognitiva y la psicometría encuentra su principal manifestación en el desarrollo de modelos de diagnóstico cognitivo, cuyo propósito fundamental es identifi car fortalezas y debilidades para hacer inferencias acerca de las habilidades de las personas en la resolución de diversas situaciones. Según ^{Gierl, Leighton y Hunka (2007}) “una evaluación de diagnóstico cognitivo requiere de un enfoque cognitivo de procesamiento de la información para modelar la psicología del rendimiento en una prueba, pues las inferencias sobre las puntuaciones se orientan específicamente hacia las habilidades cognitivas de las personas” (p. 242).

El análisis del procesamiento de la información propuesto por ^{Newell y Simon (1972}) proporciona el tipo de estudio detallado de las capacidades humanas que permite la continuidad desde los modelos estables de diferencias individuales que proporcionan las teorías psicométricas, hasta la identificación de los procesos, los contenidos y las representaciones individuales empleadas por las personas en la resolución de tareas específicas.

La perspectiva teórica del procesamiento de la información ha recibido diversas críticas, sobre todo en lo que se refiere a adoptar los programas de computación como metáfora del funcionamiento cognitivo humano, esto es, aceptar la analogía entre la mente humana y el funcionamiento de una computadora (^{Pozo, 2002}). Asimismo, la psicología cognitiva actual ha dado otras explicaciones al tratamiento de la información, sobre todo desde un punto de vista sociocultural, conexionista y neurocientífico. No obstante, el procesamiento de la información sigue siendo adecuado para el estudio de la naturaleza, el contenido y el empleo de mucha de la información que las personas utilizan (^{Rupp & Mislevy, 2007}), pues posibilita analizar detalladamente las estructuras y los procesos mentales asociados a la resolución de los ítems de una prueba en particular. Por ello, la perspectiva psicométrica y la cognitiva se pueden ver como complementarias entre sí y desarrollarse mejor conjuntamente en vez de considerarlas como entidades separadas (^{Sternberg, 1986}).

Consecuentemente, este enfoque permite la valoración de una serie de aspectos cruciales para el aprendizaje escasamente considerados en las pruebas tradicionales, como los conocimientos o las ideas previas de las personas en relación con dominios específicos, así como las estrategias de aprendizaje de que disponen o sus capacidades metacognitivas. Con ello, se puede mejorar sustancialmente la utilidad diagnóstica de una prueba.

En particular, ^{Nichols (1994}) utilizó el término “evaluación cognitiva diagnóstica”, para resaltar la integración de la psicología cognitiva en el diseño y la interpretación de los resultados de pruebas, así como en la elaboración de diagnósticos sobre las características de las personas en cuanto a sus procesos cognitivos.

Con el propósito de diseñar pruebas a partir de un enfoque de diagnóstico cognitivo, ^{Nichols (1994}) propuso cinco pasos: a) el desarrollo de un modelo o teoría que permita identificar las variables de los ítems que se refieren a estructuras de conocimiento y procesos cognitivos particulares, b) la selección de un diseño de observación y medición, en el que los ítems utilizados permitan que las personas respondan utilizando los procesos cognitivos y las estructuras de conocimiento ya identificadas, c) las decisiones acerca del entorno y el contexto en que se desarrollará la prueba y su incidencia en el desempeño de las personas, d) la calificación de las respuestas, y e) la revisión del diseño para acumular evidencia que fundamente la teoría seleccionada o bien, sugiera cambios a partir de los resultados de la evaluación.

De esta manera, al tener presente las orientaciones dadas para su correcta elaboración, se reconoce que la evaluación de diagnóstico cognitivo brinda información sobre las estrategias utilizadas por las personas en la resolución de situaciones, las relaciones entre conceptos que ellas perciben y los principios propios de un dominio evaluado. La especificidad de la información está dada en términos explicativos de por qué las personas respondieron de una manera determinada, es decir, cómo vincular el desempeño de una de ellas en una prueba con las inferencias que se puedan hacer de sus fortalezas y debilidades en el ámbito cognitivo (^{Leighton & Gierl, 2007}; ^{Nichols, 1994}).

Dada la complejidad en la valoración cognitiva del desempeño de una persona en una prueba, se requiere de un modelo en el que sea posible vincular las habilidades evidenciadas en la resolución de problemas con las interpretaciones que se puedan hacer sobre su desempeño.

En el campo de la medición, el término “modelo cognitivo” se refiere a una descripción simplificada de la resolución de problemas en tareas estandarizadas, la cual se hace con algún grado de detalle para facilitar la explicación y la predicción del desempeño de las personas, incluyendo sus fortalezas y debilidades (^{Gierl, Roberts, Brito & Gotzmann, 2009}; ^{Leighton & Gierl, 2007}).

Los modelos cognitivos son indispensables en la evaluación de diagnóstico cognitivo porque brindan un marco de referencia para la interpretación de resultados, de tal manera que el desempeño en una prueba se pueda vincular con inferencias específicas acerca del conocimiento y las habilidades de las personas.

En la literatura está suficientemente documentado que muchas de las aplicaciones de modelos complejos de diagnóstico se llevan a cabo mediante un análisis post hoc, también llamado ajuste posterior o retrofitting, lo que ha recibido críticas por las limitaciones que puedan tener en brindar una adecuada clasificación para las personas (^{Gierl & Cui, 2008}). No obstante, ^{Roussos, DiBello, Henson, Jang y Templin (2010}) afirman que este tipo de análisis se realizan

(...) usualmente como una demostración de un nuevo modelo estadístico o método o como un intento por extraer mayor información de la que originalmente se podría obtener con el diseño original de la evaluación. En tales casos, el diagnóstico de habilidades esencialmente se convierte en un nuevo propósito adicional para el instrumento de evaluación (p. 38).

Uno de los primeros esfuerzos en representar las habilidades cognitivas requeridas para resolver ítems en pruebas educativas y psicológicas e integrarlas con enfoques psicométricos, lo constituyó el modelo rule space de ^{Tatsuoka (1983}, 1990, 2009), que se describirá en la siguiente sección.

El método rule space: descripción de atributos y clasificación para el diagnóstico

Con el propósito de enriquecer las interpretaciones de los modelos básicos de TRI, se propuso la incorporación de información externa a los parámetros de dichos modelos, que tuvieran origen en procesos de respuesta fundamentados en la psicología cognitiva.

Una de esas propuestas se desarrolló en un programa de investigación dirigido por Kikumi ^{Tatsuoka (1983}, 1990, 2009) y que originó la “metodología rule space” en la que se combina el modelado de variables latentes propio de la TRI con el análisis bayesiano de conglomerados.

El trabajo en dicha metodología estuvo motivado en sus orígenes por el análisis de errores en áreas o contenidos sumamente específicos de la Matemática, tales como álgebra, números negativos, fracciones y exponentes (^{Birenbaum & Tatsuoka, 1993}). El propósito de la utilización del método en tales estudios fue principalmente diagnosticar el funcionamiento de las habilidades de las personas en la resolución de problemas y detectar patrones inusuales de respuesta al responder ítems propios de aritmética (Tatsuoka, 1983).

Distintos estudios mostraron la inestabilidad de los errores sistemáticos; además, tales errores resultan ser soluciones tentativas para resolver problemas cuando las personas no tienen las habilidades apropiadas. Incluso, se tienen evidencias de que a menudo las personas no recuerdan cuáles reglas erróneas utilizaron ni las pueden describir unos cuantos segundos después de su uso (^{Shaw, 1986}).

Debido a que la consideración de componentes cognitivos relevantes resulta de mayor estabilidad y relevancia para procesos educativos y psicológicos, el método rule space se propuso como un enfoque probabilístico que se basa en un análisis de los requerimientos cognitivos en una tarea y que se denominan atributos. De acuerdo con ^{Birenbaum y Tatsuoka (1993}) “un atributo de una tarea es una expresión de la dimensión subyacente de la tarea que se requiere para completarla exitosamente. Los atributos pueden incluir procedimientos, heurísticas, estrategias, habilidades y otros componentes del conocimiento” (p. 256). Adicionalmente, ^{Birenbaum, Kelly y Tatsuoka (1992)}afirman que los atributos pueden incluir la adopción de una estrategia particular.

El método rule space se desarrolla en cuatro etapas:

a) identificación de las habilidades cognitivas requeridas para resolver los ítems de una prueba, b) generación de los patrones ideales de respuestas, c) proyección de los patrones de respuesta de las personas y de los patrones ideales en un espacio bidimensional, y d) clasificación de estudiantes en grupos de dominio de atributos.

La primera etapa del rule space la constituye la identificación de los atributos de los ítems, la cual es un proceso interactivo que inicia con la elaboración de una lista preliminar a partir de la investigación de literatura en el dominio específi co de conocimiento, el análisis de protocolos verbales y escritos de estudiantes, así como de la participación de docentes o especialistas con experiencia, entre otros.

Con los atributos identificados por ítem, se genera la matriz de incidencia o matriz Q (^{Tatsuoka, 1983}, 1990, 2009), la cual está compuesta por unos y ceros (los cuales indican la presencia o no del atributo en el ítem, respectivamente). La matriz Q tiene kfi las y j columnas, donde k es la cantidad de atributos y j es la cantidad de ítems. Para la validación de la matriz de incidencia, se llevan a cabo análisis de regresión múltiple en los que la variable dependiente es la dificultad de los ítems (estimada con algún modelo de TRI) y las variables independientes son los atributos; se considera aceptable un coeficiente de determinación mayor o igual que 0.80.

La segunda etapa del método es la generación de “estados de conocimiento”, los cuales son vectores de atributos que van desde no dominar ninguno de los atributos de la prueba (en cuyo caso se tendrá un vector compuesto únicamente por j ceros), hasta el vector que represente que se dominan todos los atributos correspondientes a los ítems de la prueba (un vector compuesto únicamente por j unos). La cantidad posible de estados de conocimiento está dada por 2 ^k , donde k es la cantidad de atributos que componen la matriz Q.

El método rule space, emplea una función booleana descriptiva (^{Tatsuoka, 2009}) para asociar los estados de conocimiento (que son posibles combinaciones de atributos según las especificaciones de la matriz Q) con los patrones de respuestas de las personas. Para ello se parte del supuesto básico de que una persona acierta un ítem si y solo si domina todos los atributos involucrados en la resolución de dicho ítem. Por esta razón se dice que el rule space es un método no compensatorio (^{Rupp, Templin & Henson, 2010}).

En la tercera etapa del método, se hace una representación gráfica de los patrones ideales de respuestas a los ítems de una prueba en términos de dos variables: θ (theta) y ζ (zeta). La primera de ellas corresponde al nivel de aptitud o habilidad estimada según algún modelo de TRI. Se espera que una persona de alta habilidad tenga un patrón de respuestas con muchos unos y pocos ceros y, por el contrario, una persona en el extremo inferior del continuo de habilidades tendría un patrón de respuestas con la mayoría de elementos iguales a cero. No obstante, puede suceder que tanto una persona de habilidad alta no acierte algunos ítems fáciles, como una de habilidad baja que acierte algunos ítems difíciles, por lo que sus respuestas se considerarán inusuales o atípicas. Para ello, ^{Tatsuoka (1987}) introdujo el índice extendido de precaución, denotado por ζ y que constituye la segunda dimensión que el método rule space utiliza. Este índice puede asumir valores negativos, lo cual indica que los patrones de respuesta a los ítems correspondientes tienen mayor probabilidad de tener puntuaciones de 1 para los ítems fáciles y de 0 para los ítems más difíciles; valores positivos para ζ mostrarán una tendencia contraria a la ya descrita, es decir, por lo general unos para los ítems más difíciles y ceros para los más fáciles (Tatsuoka, 2009).

Finalmente, en la cuarta etapa, para cada patrón observado de respuestas, se calcula el valor de D ² (distancia de Mahalanobis) entre dicho patrón y todos los patrones esperados según las especificaciones de la matriz Q, para así clasificar a cada persona en un grupo determinado, conocido como estado de conocimiento.

Como θ y ζ siguen una distribución normal bivariada (^{Tatsuoka, 1985}), la distancia de Mahalanobis sigue una distribución ji cuadrada ( x ² ) con dos grados de libertad en un espacio bidimensional. Si el cálculo del valor de D ² es menor que el valor crítico de ji cuadrada, entonces el patrón de dominio de atributos (estado de conocimiento) asociado al patrón esperado de respuesta se acepta para clasificar a las personas.

De acuerdo con ^{Im (2007}), al utilizar un valor de ζ es posible obtener un punto de corte para las distancias de clasificación. Así, si al calcular D ² entre la ubicación de una persona y un centro se obtiene un resultado menor que el punto de corte para la distancia, entonces el estado de conocimiento correspondiente al centro se puede aceptar para dicha persona. De hecho, el punto de corte para la distancia de clasificación correspondiente al 90% de la distribución ji cuadrada con dos grados de libertad es 4.5. Esto quiere decir que solo aquellas personas cuyas distancias a cualquier centro sean menores que el punto de corte pueden ser clasificadas según el rule space.

El dominio de atributos para cada persona se expresa en forma probabilística mediante una combinación de los estados de conocimiento generados según las especificaciones de la matriz Q ponderados con las probabilidades posteriores calculadas con las reglas bayesianas de decisión; a esto se le conoce como probabilidad de dominio de atributos. Una vez que estos vectores de probabilidad se calculan, se pueden inferir características de diagnóstico cognitivo tanto a nivel grupal como individual y con ello finaliza el procedimiento.

Cuando se tienen k atributos, la cantidad de posibles estados previos de conocimiento es 2 ^k . No obstante, las relaciones entre los atributos al estar involucrados en diversos ítems hacen que no todos esos estados previos estén acordes con las especificaciones de la prueba según la matriz de incidencia, por lo que es posible reducir su cantidad, debido a dichas condiciones iniciales. Los estados de conocimiento similares se agrupan tomando en consideración las probabilidades de dominio de atributos obtenidas con el rule space. Para ello, se llevan a cabo análisis de conglomerados de K medias, el cual parte del análisis de casos individuales para ir agrupando casos hasta llegar a la formación de conglomerados homogéneos.

Al tomar como base los patrones de dominio de atributos, es posible establecer una red de relaciones jerárquicas con un conjunto de estados agrupados de conocimiento. Dicha jerarquía permite describir el orden en que las personas adquieren las habilidades cognitivas identifi cadas y se les conoce como “trayectorias de aprendizaje” (^{Tatsuoka, 2009}).

Para elaborar una red entre estados de conocimiento se utilizan principios de relaciones de inclusión y de teoría de grafos. Con estas bases matemáticas, es posible establecer que un par de estados agrupados de conocimiento tienen una relación de orden si cada una de las componentes del vector binario de dominio es mayor o igual que su respectiva componente en el otro vector.

En la siguiente sección, a modo de ejemplo, se describen parte de los hallazgos de la investigación de ^{Artavia-Medrano (2014}), quien se basó en una prueba de rendimiento académico en Matemática compuesta por 55 ítems, aplicada en estudiantes costarricenses de undécimo año a nivel nacional. Esta prueba es de altas consecuencias para el estudiantado, pues constituye uno de los requisitos para concluir la educación secundaria en Costa Rica.

Inferencias para el diagnóstico cognitivo: un ejemplo

^{Artavia-Medrano (2014}) desarrolló un modelo de diagnóstico cognitivo en Matemática. Para ello, empleó una prueba de gran escala compuesta únicamente por ítems de selección única, cada uno con cuatro opciones de respuesta. En cuanto a los temas medidos en la prueba y el peso porcentual con que aparecen, se tiene: álgebra (20%), funciones (27%), función exponencial y función logarítmica (18%), geometría (20%) y trigonometría (15%). Para su estudio, contó con un conjunto de datos codifi cados de manera dicotómica (1 en caso de acierto, 0 en caso contrario).

El coeficiente alfa de Cronbach reportado es de 0.86, como evidencia de una alta consistencia interna. Para la estimación de los parámetros de los ítems, se seleccionó el modelo de Rasch, según el cual la respuesta a un ítem depende solo de la aptitud de la persona y de la dificultad del ítem; ambas se estiman en una misma escala y cada una de esas estimaciones tiene un grado de error asociado a ellas, el cual decrece a medida que la dificultad y la aptitud aumentan (^{Bond & Fox, 2001}). Los cálculos con el modelo de

Rasch permiten reportar valores de θ que variaron de -2.41 a 3.19, con un promedio de 0 y una desviación estándar de 1.20.Por las características de la base de datos con la que se contó para desarrollar la investigación, se utilizó muestreo aleatorio simple y así se calculó un tamaño de muestra para estimar una proporción con el 95% de confianza. Para ello, se utilizó el valor 0.5 como desviación estándar máxima en el caso de una proporción, y 0.05 como error de muestreo máximo permisible, con lo que se obtuvo n = 384.

En la tabla 1 se describen los atributos correspondientes a los ítems de la prueba en estudio, que fueron codifi cados y con ello se formuló la matriz Q.

Con el fi n de obtener evidencias de validez para la matriz Q, se realizaron diversos análisis de regresión múltiple. En cuanto a los ítems, lo que se pretende es explicar en qué medida la varianza en la dificultad de los ítems se explica por los atributos involucrados en ellos. Los 18 atributos propuestos explican más del 79% de la varianza en la dificultad de los ítems estimada según el modelo de Rasch (R ²= 0.861; R ² _adj= 0.792).

De igual modo, se estimó el poder explicativo de las probabilidades de dominio de atributos para predecir el desempeño o rendimiento en la prueba. Para este caso, se obtuvo que el 90% de la varianza en las puntuaciones totales de la prueba se explican por las probabilidades de dominio de atributos (R ²=0.901; R ² _adj= 0.896).

Una vez que se ejecutaron los análisis propios del método rule space, se logró una tasa de clasificación del 98.4% para los patrones observados de respuesta en uno o más de los estados de conocimiento posibles según el método. Esta tasa de clasificación es considerada muy alta. Los patrones de respuestas de las personas no clasificadas es porque resultan completamente inconsistentes con los estados de conocimiento generados y por ello sus respuestas no son comparables ni se aproximan a los patrones esperados de respuestas según la matriz Q propuesta. En el rule space se asume que estas discrepancias se deben principalmente a errores aleatorios o sistemáticos que cometen las personas al resolver los ítems de la prueba (^{Tatsuoka, 2009}).

A pesar de la reducción hecha con los análisis del método rule space, la cantidad de estados de conocimiento puede continuar siendo muy alta debido al número de atributos involucrados en la prueba. Por ello, se hace necesario establecer una cantidad de estados de conocimiento que brinde una información diagnóstica con mayor significado y que sea más interpretable.

^{Artavia-Medrano (2014}) seleccionó la cantidad de 12 conglomerados por considerar que refleja mejor el desempeño o logro de los atributos y porque de ella es posible obtener una relación jerárquica entre los estados conglomerados de conocimiento cuya interpretación tenga mayor sentido educativo. La distancia promedio entre las personas y el centro del conglomerado es 0.74 con una desviación estándar de 0.27 y su rango varía desde 0.22 hasta 1.85.

Con el propósito de entender la importancia de cada atributo en la separación por los 12 conglomerados, se llevó a cabo un análisis de varianza (ANOVA) de un solo factor. Los resultados, que se presentan en la tabla 2, indican cuáles atributos contribuyen más a la solución escogida de los estados conglomerados de conocimiento. Así, los atributos con valores de F grandes, proporcionan mayor separación entre conglomerados; en este caso, la utilización de propiedades de potencias o logaritmos (AT13) y la utilización de métodos de factorización (AT1).(Tabla 1)

Tabla 1 Atributos para los ítems de la prueba 

Nota. ^{Artavia-Medrano (2014}).

Puesto que los conglomerados se han elegido para maximizar las diferencias entre los casos, las pruebas F solo se pueden utilizar con una finalidad descriptiva, esto es, no pueden interpretarse como pruebas de la hipótesis de que los centros de los conglomerados son iguales.

Los resultados presentados en la Tabla 2 muestran que los valores de F varían desde 3.737 hasta 537.073, esto denota que cada atributo es de utilidad para la separación en estados conglomerados de conocimiento. Por tanto, la escogencia de doce conglomerados se considera una solución interpretable en términos cognitivos.

Tabla 2 . Resultados del ANOVA de un solo factor para evaluar las diferencias entre los doce estados conglomerados de conocimiento por atributo. 

Nota. p < .001 para todos los atributos. ^{Artavia-Medrano (2014})

Una vez que se obtuvieron los conglomerados, se estimó la probabilidad de dominio o logro para cada atributo en cada conglomerado, mediante el promedio de las probabilidades de dominio de atributos para las personas clasificadas en el conglomerado respectivo. En la tabla 3 se muestra la probabilidad media y la cantidad de personas en cada conglomerado.

A modo de ilustración, el ECC1 (estado conglomerado de conocimiento 1) presenta el valor 0.99 como promedio de probabilidad de dominio de los atributos revisión de opciones (AT2) y resolución de ecuaciones o desigualdades (AT4); no obstante, en este conglomerado, se tiene una probabilidad media de 0.21 para el dominio de la determinación de elementos o propiedades de dos o más fi guras planas o un cuerpo geométrico (AT15). Para propósitos de brindar información diagnóstica, las 49 personas que se ubican en el ECC1 pueden ser caracterizadas atendiendo a la naturaleza de los atributos con mayor probabilidad media de dominio (por ejemplo, mayores probabilidades en los ítems que requieren algoritmos para su resolución).

Para efectos de interpretaciones con mayor significado educativo, cada uno de los vectores de probabilidad de dominio de atributos de cada conglomerado se transformó en un vector binario, en el que los unos indican el dominio del atributo correspondiente y los ceros, el caso contrario. Con esto se logra un patrón de dominio de atributos para cada estado conglomerado de conocimiento. Se utilizó 0.75 como punto de corte para estas transformaciones.

Por ejemplo, en la primera columna la Tabla 3, se evidencia que hay 49 personas que se ubican en el estado conglomerado de conocimientos 1 (ECC1). Para este conglomerado, las personas no dominan: la traducción y formulación de expresiones para resolver un problema (AT5), la verificación de proposiciones (AT8), la utilización de información implícita o explícita en una fi gura (AT9), la distinción entre variables y parámetros (AT10), la determinación o el cálculo de conceptos de funciones exponenciales y logarítmicas (AT12), la determinación de elementos o propiedades de una fi gura plana (AT14), la determinación de elementos o propiedades de dos o más fi guras planas o un cuerpo geométrico (AT15), el cálculo de áreas o volúmenes de fi guras o regiones (AT16) y la determinación o el cálculo de conceptos de funciones trigonométricas (AT18).

Tabla 3 Centros de cada estado conglomerado de conocimiento 

Nota. ^{Artavia-Medrano (2014})

Como se observa en la Tabla 4, cuando se consideran patrones binarios, el ECC 1 contiene ceros en dichos atributos y unos en los demás, pues al superar el valor de corte se consideran como dominados por las personas que integran el conglomerado respectivo. En esa misma tabla se muestran los patrones de dominio ordenados de menor a mayor, junto a la cantidad de atributos dominados y el número de personas clasificadas en cada conglomerado.

Tabla 4 . Patrones de dominio de atributos para los estados conglomerados de conocimiento  

Nota. ^{Artavia-Medrano (2014}).

Con los conglomerados ya formulados, es posible establecer redes de estados de conocimiento, como se muestra en la Figura 1 y elaborar trayectorias de aprendizaje conformadas por cadenas de estados de conocimiento. Las trayectorias de aprendizaje permiten definir la manera en que se puede ir mejorando progresivamente en el dominio de habilidades. Algunas de ellas se muestran en la Tabla 5. Las trayectorias de aprendizaje mostradas anteriormente inician en EC5, lo cual implica que los tres atributos asociados con dicho estado conglomerado de conocimiento fueron dominados por casi todas las personas. Tales atributos son: simplificación de expresiones (AT3), resolución de ecuaciones o desigualdades (AT4) y utilización de fórmulas (AT11).

Asimismo, la cadena EC7→EC11→EC9 indica que los atributos: verificación de proposiciones dadas en el enunciado del ítem (AT8), la determinación de elementos o propiedades de dos o más fi guras planas o un cuerpo geométrico (AT15) y el cálculo de áreas o volúmenes de fi guras o regiones (AT16), resultaron ser los más difíciles de dominar.

Figura 1 Redes entre estados conglomerados de conocimiento. Elaboración a partir de ^{Artavia-Medrano (2014}). a. El número representa la cantidad de atributos no dominados, por lo que los atributos indicados en cada cuadro son los que se han dominado en cada estado conglomerado de conocimiento. b. Representa la cantidad de personas clasificadas en ese conglomerado. 

Tabla 5 . Algunas trayectorias de aprendizaje según estados conglomerados de conocimiento 

Nota. ^{Artavia-Medrano (2014}).