Introducción

Tal como lo expresan ^{Cañadas et al. (2008}), las conjeturas juegan un papel fundamental en la actividad matemática, la resolución de problemas y la producción de conocimiento matemático. Estos autores, basándose en ^{Lakatos (1978}) y ^{Polya (1945}), definen conjetura, en el ámbito de la institución matemática, como una proposición que se prevé verdadera, pero que está pendiente de ser sometida a examen, el cual puede llevar a su aceptación o rechazo. Es decir, una conjetura es una afirmación que se supone cierta, pero que no ha sido demostrada ni refutada.

Luego de que ^{Polya (1954}) y ^{Lakatos (1978}) plantearon las bases para analizar con profundidad los procesos de elaboración, contrastación y reformulación de conjeturas en las instituciones de producción de conocimiento matemático, numerosas investigaciones en Educación Matemática han abordado el estudio de las conjeturas desde diferentes perspectivas (^{Boero et al., 2007}; ^{Cañadas et al., 2008}; ^{Hanna y De Villiers, 2012}; ^{Larios Osorio, 2000}; ^{Mariotti, 2006}; ^{Stylianides et al., 2016}; entre tantas otras). En ellas se destaca la importancia del trabajo en torno a las conjeturas en las matemáticas escolares y se estudian distintos aspectos referidos a los procesos de construcción y argumentación de conjeturas. En varias de estas investigaciones se entiende a la argumentación como el discurso o medios retóricos utilizados por un individuo o un grupo para eliminar sus dudas o convencer a otros acerca de la verdad o falsedad de una afirmación. En este sentido, la argumentación se sitúa en una actividad matemática que puede incluir la exploración de ejemplos, la generación o el refinamiento de conjeturas y la producción de argumentos para estas conjeturas, que no necesariamente califiquen como pruebas, pero que apoyen su desarrollo (^{Harel y Sowder, 2007}; ^{Stylianides et al., 2016}; ^{Zaslavsky, 2014}).

Desde el ^{National Council of Teachers of Mathematics (2003)}, se considera que hacer matemática implica descubrir y que las conjeturas son el principal camino hacia el descubrimiento, remarcando la importancia de formularlas e investigarlas. Además, los diseños curriculares de la escuela secundaria de Argentina (contexto en el que se desarrolla este estudio) mencionan explícitamente la necesidad de presentar a los estudiantes situaciones de enseñanza que atiendan a la producción y validación de conjeturas. En los núcleos de aprendizajes prioritarios del ^{Ministerio de Educación de la Nación (2012}) (NAP), que constituyen una base común para la enseñanza obligatoria de todo el país, se plantea que, a lo largo del ciclo orientado (correspondiente a los últimos tres años del nivel secundario, 15-17 años), la escuela debe brindar situaciones de enseñanza que presten atención al problema de la validación en general y, en particular, a la producción e interpretación de conjeturas, admitiendo que es posible acudir a ejemplos o a dibujos para elaborarlas, pero que no es suficiente para validarlas. Más adelante, el National Council agrega que es trascendental el trabajo en torno a la validación de conjeturas y afirmaciones de carácter general, mediante propiedades matemáticas, con lo que se acerca, de este modo, a las demostraciones.

No obstante, desde nuestra experiencia docente, hemos vislumbrado que, frente a situaciones problemáticas que involucran un trabajo con conjeturas, hay ciertas discrepancias entre los significados que los estudiantes les otorgan a las afirmaciones, las cuales elaboran mediante razonamientos no deductivos en sus prácticas personales y los que adquieren en los ámbitos de producción matemática. En este trabajo, abordaremos el estudio de esos significados personales e intentaremos explicar las mencionadas discrepancias, recurriendo a ciertas herramientas aportadas por la didáctica de la matemática.

Particularmente, Duval hace referencia al valor epistémico de una proposición, como “…el grado de fiabilidad que posee lo que se enuncia en la misma. En el instante mismo de su aprehensión, el contenido de una proposición puede parecer evidente, cierto o sólo verosímil, plausible o simplemente posible, imposible o incluso absurdo” ^{(Duval, 1995}, citado en ^{Panizza, 2005}, p. 73).

Según ^{Larios Osorio (2000}), las conjeturas tienen un carácter de veracidad personal por el hecho mismo de que son elaboradas por un individuo. En este sentido, el valor personal de verdad otorgado por los estudiantes a las proposiciones influye en los procesos de validación puestos en juego, más aún, en la necesidad -o no- de entrar en un proceso de prueba. Esto nos lleva a repensar el papel que juegan las conjeturas en la construcción de saberes escolares y el modo en que las reglas de validación propias de la matemática están influenciadas con las que se usan y circulan en otros contextos (^{Godino y Recio, 2001}).

Compartimos con los autores ya mencionados y otros (^{Lin et al., 2012}; ^{Martínez y Li, 2010}) la relevancia que reviste un trabajo escolar en torno a la producción y argumentación de conjeturas, como camino de construcción tanto de conocimientos matemáticos como de reglas que regulan el debate y la validación propios de la disciplina.

Sin embargo, es un problema reconocido que los estudiantes (particularmente los de nivel secundario) consideran verdaderas aquellas afirmaciones a las que han arribado, mediante la observación de casos particulares u otro tipo de razonamientos no deductivos, sin margen de duda (^{Buchbinder y Zaslavsky, 2013}; ^{Lockwood et al., 2012}; ^{Panizza, 2005}). Esto nos permite entrever que tales afirmaciones no constituyen para ellos conjeturas en el sentido en que se las entiende desde la institución matemática; en otras palabras, no las consideran afirmaciones que se intuyen verdaderas, pero no se tiene seguridad de que lo sean, ni como afirmaciones que aún no han sido sometidas a otro tipo de validación aceptada por dicha institución.

Los indicadores aludidos, evidenciados tanto en los diseños curriculares como en las investigaciones mencionadas, sumados a la relevancia de la problemática en el ámbito de la enseñanza de la escuela secundaria, nos llevaron a cuestionarnos: ¿Qué significado le otorgan estudiantes de nivel secundario a aquellas proposiciones que, desde la institución matemática, se reconocen como conjeturas?, ¿qué valor epistémico les confieren los estudiantes a las proposiciones que elaboran?

Para dar respuesta a esas preguntas nos apoyamos en herramientas teóricas y metodológicas del enfoque ontosemiótico del conocimiento y la instrucción matemáticos (EOS) (^{Godino, 2002}; ^{Godino et al., 2009}; ^{Godino, 2017}). Desde este enfoque, el significado (personal/institucional) de un objeto se caracteriza como el emergente de sistemas de prácticas (realizados por una persona / compartidas en el seno de una institución), en los cuales este objeto es determinante para su realización.

Desde esta perspectiva pragmática, podemos indagar los significados personales sobre conjetura de los estudiantes, a través del análisis de sistemas de prácticas puestos a funcionar por ellos, ante situaciones que requieren la elaboración y argumentación de conjeturas. Esto nos permite, a su vez, desvelar el valor epistémico que le otorgan a las proposiciones que los alumnos formulan. A partir de este estudio, podremos detectar también conflictos semióticos, es decir, “disparidades o discordancias entre los significados atribuidos a una expresión por dos sujetos (personas o instituciones)” (^{Godino et al., 2009}, p. 16), que posibilitarán explicar algunas dificultades de los estudiantes en sus prácticas argumentativas y dar cuenta de posibles distancias entre los significados personales y el significado de conjetura, según la institución matemática.

Marco teórico

En el marco del EOS (^{Godino et al., 2009}), se considera práctica matemática a “toda actuación o expresión (verbal, gráfica, etc.) realizada por una persona (o compartidas en el seno de una institución) para resolver problemas matemáticos, comunicar a otros la solución obtenida, validarla o generalizarla a otros contextos y problemas” ^{(Godino y Batanero, 1994}, p. 334). En este enfoque, tal como ya lo mencionamos, el significado de un objeto matemático se entiende como un emergente de sistemas de prácticas que se ponen a funcionar ante determinado tipo de problemas. Si estos sistemas de prácticas son realizados por un sujeto, se ponen en evidencia los significados personales. En cambio, si son compartidos en el seno de una institución, emergen los significados institucionales.

Los sistemas de prácticas pueden ser analizados desde, al menos, dos niveles que explicitamos a continuación. En el primero de ellos, se describen los sistemas de prácticas y objetos matemáticos primarios que intervienen (disponibles) o que pueden resultar de la realización de dichas prácticas (emergentes). ^{Godino et al. (2009}) distinguen los siguientes tipos de objetos primarios: situaciones-problemas, procedimientos, conceptos-definiciones, proposiciones, argumentos y lenguaje. Estos objetos están vinculados entre sí y forman configuraciones, definidas como las redes de objetos intervinientes y emergentes de los sistemas de prácticas y las relaciones que se establecen entre ellos. Dichas configuraciones pueden ser socioepistémicas (redes de objetos institucionales) o cognitivas (redes de objetos personales). El segundo nivel de análisis se centra, fundamentalmente, en la indagación de procesos que intervienen al efectuar las prácticas.

Por una parte, el EOS distingue aquellos procesos matemáticos que dan lugar a la emergencia de los objetos primarios, tales como los de problematización, elaboración de procedimientos, definición, enunciación, argumentación y comunicación.

Por otra parte, dichos objetos primarios pueden ser considerados, desde distintas facetas duales, según el juego de lenguaje en el que participan, lo que da lugar a procesos cognitivos duales, entre los que podemos mencionar:

Todos estos procesos pueden ser fuente de conflictos semióticos, tal como se les definió previamente. En particular, el análisis didáctico-matemático en la faceta cognitiva que efectuamos en este trabajo, además del estudio de los significados personales, requiere contemplar los conocimientos iniciales y los conflictos semióticos cognitivos (disparidades entre el significado de referencia y el manifestado por un sujeto) (^{Godino et al., 2021}).

Metodología

La investigación realizada es de tipo cualitativo y la metodología adoptada es inherente al EOS. En particular, se llevó a cabo un estudio de casos de sistemas de prácticas desplegadas por estudiantes de nivel secundario, ante problemas que involucran el objeto conjetura, a fin de caracterizar significados personales.

Para ello, se seleccionaron tres problemas que intencionalmente pusieran a los alumnos ante situaciones de elaboración, reformulación, contrastación o validación de conjeturas, respondiendo, así, a los propósitos de esta indagación. En primer lugar, se propusieron y analizaron resoluciones pretendidas para cada uno de ellos (acordes con el año de cursado de los estudiantes). Luego, los problemas fueron planteados a aprendices de cuarto año (15-16 años), correspondientes a tres escuelas secundarias de diferentes contextos socioeconómicos de la ciudad de Río Cuarto, Argentina. Estos estudiantes no habían tenido experiencia con demostraciones deductivas, pero si disponían de las definiciones/conceptos matemáticos necesarios para abordar los problemas. Los tres problemas fueron entregados a un total de 50 estudiantes por sus docentes de la asignatura Matemática, entre los años 2020 y 2021, a través de plataformas virtuales, debido al contexto de emergencia sanitaria que atravesamos en este período y que exigió a las escuelas continuar con sus actividades de manera remota. Los alumnos los resolvieron y entregaron sus producciones escritas por el mismo medio. Cabe mencionar que los docentes participantes fueron meros facilitadores en la tarea de administrar los enunciados y recoger las producciones.

Una vez obtenidas las resoluciones, se seleccionaron aquellas que permitieran avanzar sobre los interrogantes planteados para esta investigación y que pudieran brindar elementos para profundizar sobre el tema que nos ocupa, descartando sistemas de prácticas incompletos, con poca o nula información acerca de los procesos puestos a funcionar o con errores vinculados al contenido matemático. De esta manera, escogimos, para su análisis, las resoluciones de seis estudiantes, dos para cada problema.

Como parte importante y complementaria del trabajo de campo realizado, llevamos a cabo entrevistas (a través de videollamadas) a esos seis estudiantes, con el fin de generar un espacio que nos permitiera preguntar, y a ellos aclarar, algunas cuestiones en torno a lo expresado en sus producciones escritas. Para ello, se confeccionaron, con antelación, preguntas para cada entrevista, que apuntaron a desnaturalizar los significados personales respecto a las proposiciones construidas por ellos. Cabe destacar que, durante el encuentro, se dio lugar a nuevos comentarios e interrogantes, a partir de las respuestas obtenidas, que posibilitaron ahondar en el valor epistémico que los estudiantes otorgan a las proposiciones emergentes de sus prácticas, objeto de estudio en esta investigación. Se ejecutó un análisis ontosemiótico de las prácticas de los seis estudiantes, que contempló tanto las producciones escritas como lo extraído de las entrevistas. Dicho análisis se llevó a cabo en sus dos primeros niveles, esto es: determinación de objetos primarios e identificación de procesos y conflictos semióticos asociados a estos últimos. Dada la extensión de este trabajo, presentaremos el análisis completo de la producción (resolución y entrevista) de un solo estudiante (estudiante A) sobre el problema 1. Además, se mostrarán las resoluciones de los problemas 2 y 3 por parte de dos estudiantes B y C, respectivamente, extractos de las entrevistas y una síntesis de los análisis realizados a estas dos últimas producciones.

A continuación, presentamos los tres problemas que fueron propuestos a los estudiantes:

Problema 1

Problema 2

Considere las siguientes cuentas: 3 + 5 = 4 . 2 7 + 9 = 4 . 4 11 + 13 = 4 . 6

Problema 3

Si en la expresión n2 - n + 11 se reempla número primo? za n por cualquier número natural, ¿se obtiene un

El primero de estos problemas promueve un trabajo en torno al análisis de la validez de una afirmación referida a una relación entre dos expresiones algebraicas que involucran operaciones entre números enteros. Al plantearlo mediante una pregunta, exige a los estudiantes tomar una postura respecto al valor de verdad de dicha afirmación y, si es necesario, buscar condiciones para que se cumpla. También, propicia el establecimiento de nuevos enlaces entre las expresiones algebraicas intervinientes. En este sentido, el problema apunta, por un lado, a contrastar o reformular una conjetura y, por el otro, a elaborar nuevas. El enunciado de este problema es una reformulación de otro planteado por ^{Drouhard et al. (1995}).

El segundo problema promueve la elaboración de una conjetura general, con base en la observación de ciertos casos particulares dados en la consigna y la posible búsqueda de condiciones para que aquella sea verdadera. Además, se solicita la explicitación de una conclusión (con la intención de que los estudiantes enuncien posibles conjeturas) y que propongan argumentos los cuales les permitan asegurar su validez. Tal tipo de problema intenta poner al estudiante en una postura de creación y de duda sobre esta. La estructura del problema es una adaptación de otro planteado por Saiz y Etchegaray, en el Módulo: Enseñanza de la Aritmética, del ^{Ministerio de Educación y Deportes de Argentina (2015)}.

El tercer problema, al igual que el primero, promueve la contrastación de una proposición general referida a números naturales. La particularidad es que la proposición es verdadera para los primeros naturales, lo cual puede llevar a conjeturar erróneamente que es verdadera para todos. Este problema es una adaptación de otro extraído del Programa de Capacitación Multimedial: Explora las ciencias en el mundo contemporáneo, del ^{Ministerio de Educación de la Nación Argentina (2011}).

Análisis y resultados

Dado que el objetivo principal de esta investigación está vinculado al estudio de los significados personales de conjetura en estudiantes de la escuela secundaria y a cómo, de acuerdo con el EOS, estos significados son emergentes de los sistemas de prácticas que involucran este objeto, analizamos las prácticas de un grupo de alumnos ante los tres problemas presentados. Tal como hemos adelantado, mostraremos, primeramente, la resolución propuesta por el estudiante A ante el problema 1, el análisis ontosemiótico detallado de su práctica, así como algunos fragmentos de la entrevista que se le realizó. Posteriormente, veremos las resoluciones propuestas por los estudiantes B y C para los problemas 2 y 3, respectivamente, y algunos extractos de las entrevistas efectuadas a cada uno de ellos, quienes nos brindaron información valiosa para nuestro trabajo.

En la Figura 1 presentamos la resolución escrita del estudiante A ante el problema 1.

Para realizar el análisis ontosemiótico de esta práctica, que incluye algunos aspectos manifestados por el estudiante en la entrevista posterior, la subdividimos en dos subprácticas: práctica 1, correspondiente al inciso a del problema, y práctica 2, correspondiente al inciso b. En las tablas 1 y 2, se presentan los análisis respectivos.

Cabe aclarar que la diferenciación entre propiedades y conjeturas en el análisis es planteada por las autoras de este trabajo, en función de la distinción que se realiza en el ámbito de la institución matemática.

Fuente propia de la investigación

Figura 1 Resolución del estudiante A. 

Tabla 1 Análisis ontosemiótico de la práctica 1 del estudiante A 

Nota: Fuente propia de la investigación.

Tabla 2 Análisis ontosemiótico de la práctica 2 del estudiante A 

Nota: Fuente propia de la investigación.

A partir del análisis realizado a la resolución escrita y a la entrevista del estudiante A, consideramos importante mencionar algunas cuestiones observadas que describen lo ocurrido y permiten identificar conflictos semióticos efectivos en su práctica.

En un primer momento, al leer su producción escrita, interpretamos que el estudiante estaba generalizando que (a + b)2 > a2 + b2, para todo par de números enteros, a partir de la observación de casos particulares, ya que luego de mostrar los ejemplos elegidos asegura que la desigualdad se cumple en todos los casos. Sin embargo, en la entrevista manifiesta que, con la expresión “en todos los casos”, se refiere a aquellos ejemplos particulares elegidos por él y no a todos los números enteros. Esto parecería indicar que el alumno considera que la contrastación con ejemplos particulares no es suficiente para asegurar que la relación siempre es válida. Podemos evidenciarlo en el siguiente extracto de la entrevista: (P profesor y A estudiante):

P: Cuando decís “en todos los casos, afirmativamente…” ¿Qué significa para vos “en todos los casos”? A: Cuando digo “todos los casos” me refiero a los casos que yo comprobé, no generalizando en todos los números, sino los que yo realicé.

Sin embargo, ante la aparición del 0 como contraejemplo y la consecuente postulación de una nueva conjetura (“una comparación que puedo establecer es que (a + b)2 > a2 +b2”), asegura que esta última es siempre verdadera porque, según él, probó con todos los casos posibles: “tuve en cuenta números iguales, o un número que sea el doble, todos los casos que se me ocurrían, el 1 por ejemplo”, y también expresa haber probado con pares de números negativos: “probé con el -74 y -54…”. Esto da cuenta de que la contrastación de la conjetura planteada en pares de números particulares representativos de ciertos subconjuntos de Z x Z le otorga seguridad para afirmar que es verdadera siempre.

Aquí podemos observar claramente un conflicto semiótico ligado al proceso de particularización-generalización, que se pone de manifiesto al generalizar la relación para todo par de números enteros, a partir de la observación de estos casos particulares. Este conflicto, a su vez, está ligado a dificultades en el proceso de descomposición-reificación, dado que, si bien la descomposición que realiza del conjunto Z x Z (en pares de números positivos e iguales, pares de números positivos donde uno es el doble del otro, donde ambos son 1, pares de números negativos) lo habilita a contemplar algunos casos, la falta de reificación obstaculiza la consideración de otros subconjuntos, como el conformado por pares de números de distinto signo.

En el siguiente fragmento de la entrevista, notamos que el significado otorgado por el estudiante a la expresión “dar una condición para que una afirmación sea verdadera” no se corresponde con el significado pretendido institucionalmente, que es el de agregar una hipótesis o establecer un dominio para que la relación se cumpla, lo que constituye un claro conflicto semiótico vinculado al proceso dual de representación-significación:

P: (Volviendo a la pregunta de la consigna) ¿Será necesario, entonces, pedir alguna condición para que la desigualdad sea verdadera? ¿Cómo responderías a esa pregunta? A: Para que la desigualdad sea verdadera… P: Claro, acá dice, ¿será cierto que siempre a más b al cuadrado es mayor que a cuadrado más b cuadrado? ¿O será necesario pedir alguna condición? ¿Cómo responderías a esa pregunta? A: Y, no sé si será una condición, pero para mí el verdadero símbolo es que sea un símbolo con una raya abajo que indica que el número de la izquierda es mayor o igual al de la derecha. P: Entonces, para que ocurra esto tal cual está escrito, ¿qué condición se debería cumplir, según lo que vos pensaste? A: Que el símbolo que indica la desigualdad cambie. Para mí esa es la condición que debería de haber.

El conflicto relacionado con el proceso de particularización-generalización vuelve a presentarse al momento de formular la conjetura general 4 (“si los números elegidos son iguales, el mayor es el doble del menor”), a partir de la observación de algunos casos particulares. Se pone de manifiesto en el siguiente extracto de la entrevista que esta observación es, para el estudiante, suficiente para considerar verdadera la relación planteada, es decir, para él la afirmación no tiene carácter de conjetura, sino de una verdad sin margen de duda y, por lo tanto, no necesita ningún otro tipo de validación.

P: Y después escribiste algo muy interesante, que es otra relación, que ocurre cuando los números enteros elegidos son iguales. Resulta que el resultado mayor es el doble del menor. ¿Cómo llegaste a esa afirmación? A: Bueno, no es que haya hecho algo tan complejo. Básicamente, lo que hice al sumar 65 más 65, al utilizar los números 65 y 65, me dio justo..., fue pura casualidad que me dio justo el mayor el doble y el menor la mitad. P: ¿Y te parece que es casualidad o pasará siempre, con cualquier par de números iguales? A: Es casualidad. P: Pero vos ahí pusiste otro ejemplo y también te dio, pusiste 5 y 5. A: Exactamente, para comprobar que es cierto, así que lo hice con otro número para comprobarlo. P: ¿Y eso te permite asegurar que siempre que elijas dos números iguales va a pasar eso? A: Así es, estoy segurísimo.

El estudiante expresa que el caso del 65 le dio “por casualidad”. Entendemos que la expresión refiere a que “se encuentra” con una relación sin haberla buscado y eso le permite establecer una proposición. Al corroborar que también se cumple para el 5 (y para otros casos particulares), asegura que va a ocurrir siempre.

Finalmente, podemos identificar un nuevo conflicto semiótico asociado al proceso dual de representación-significación dado que, en un principio, el estudiante no logra otorgar otro contenido a la expresión (a + b)² (como por ejemplo el cuadrado de un binomio o el producto (a + b) . (a + b)), lo que le habría permitido establecer comparaciones con a² + b². No significar de otra manera esta representación obstaculiza el avance hacia la materialización de una argumentación general. En la entrevista, se intenta que el alumno transite este proceso de significación, aunque no se alcanza a avanzar hacia el tipo de argumentación pretendida.

A continuación, presentamos la resolución del problema 2 por parte del estudiante B.

Fuente propia de la investigación

Figura 2 Resolución del estudiante B al problema 2. 

Se puede observar en la producción escrita de este estudiante dos conjeturas (desde el punto de vista institucional):

Conjetura 1: “No sucederá lo mismo para cualquier par de números que se sumen”. Conjetura 2: “El resultado de la suma de cualquier par de números impares con secutivos se puede representar como una multiplicación de un número multiplicado por 4, o sea que (el) todo resultado de esta suma es múltiplo de 4”.

Se observan aquí conflictos semióti cos vinculados al proceso dual de particularización-generalización, específicamente enlazados a la generalización, a partir de los casos particulares observados en la consigna y de la falta de argumentaciones generales que sostienen las afirmaciones elabo radas. Tal es el caso de la conjetura 1 que enuncia que “no sucederá lo mismo para cualquier par de números que se sumen” y cuya argumentación se basa en una explicación que remite a la observación de los ejemplos particulares y no en la exposición de un contraejemplo.

La conjetura 2, por otro lado, emerge de la observación de casos particulares, los presentes en la consigna y otras exploraciones que lleva adelante el estudiante, pero no logra avanzar en una argumentación general, la cual garantice que siempre que se sumen dos números impares consecutivos el resultado será un múltiplo de 4. Esta imposibilidad de generalizar se puede explicar, desde este enfoque, a través de conflictos ligados a los procesos de representación-significación y de idealización-materialización, dado que, por ejemplo, no se otorga significado ni se evoca un número impar como un número de la forma 2n + 1, ni a su consecutivo impar como 2n + 3, lo que le hubiera permitido conducirse hacia otro tipo de validación.

En la primera parte de la entrevista, se recuperan las explicaciones del alumno y se tensionan los motivos que sostienen la validez de la conjetura 2, lo que saca a la luz otros conflictos semióticos, asociados también a los procesos de generalización, significación y materialización. El siguiente fragmento de la entrevista da cuenta de ello.

P: ¿Cómo podés estar seguro de que tu conclusión se cumple siempre? B: Porque los números consecutivos impares son el 1, el 3, el 5, el 7 y el 9. Y siempre la suma de esos dos números, por ejemplo 135 más 137, o sea, el número que sea, siempre va a dar…, o sea, el último número va a ser múltiplo de 4. P: ¿Cómo estás seguro de eso? B: Porque 1 más 3 da como resultado 4; los otros números consecutivos son 3 y 5, y 3 más 5 da como resultado 8; después 5 más 7 como resultado da 12; 7 más 9 como resultado da 16 y gracias a eso me doy cuenta de que son todos múltiplos de 4. P: ¿Y cómo te das cuenta de que un número “grande” es múltiplo de 4? ¿Qué usás para darte cuenta? B: El número final.

Vemos que hay conflictos semióticos asociados a significar los números 4, 8, 12 y 16, como las únicas terminaciones posibles de las sumas de números impares consecutivos y, por ende, a generalizar que si esas terminaciones son múltiplos de 4, todas las sumas lo serán.

Al final de la entrevista, el estudiante reafirma el valor de verdad de su conjetura, puesto que no encontró ningún contraejemplo. Esto último vuelve a mostrar un conflicto asociado al proceso dual de particularización-generalización, atravesado por la manera en que él “recorre” todos los casos, lo cual se manifiesta en el siguiente extracto:

P: Porque vos probaste que la suma de los dígitos impares consecutivos siempre da múltiplo de 4, pero, ¿eso te garantiza que la suma de cualquier par de impares consecutivos te da un múltiplo de 4? B: Yo creo que sí. No encontré una suma que no de un múltiplo de 4.

Podemos observar así que el alumno logra esbozar una afirmación general que es verdadera e intenta plantearle una justificación (basada en la terminación del resultado de la suma de dos impares), pero siempre anclada en sus casos particulares. Ante la intervención del entrevistador, termina asegurando que su afirmación es verdadera porque no ha encontrado un caso que la refute. Esto puede explicarse por conflictos ligados al proceso de generalización-particularización.

Seguidamente, presentamos la resolución del problema 3 por parte del estudiante C.

El estudiante comienza contrastando la conjetura en un caso particular que lo lleva directamente a generalizar su validez para todo número (conflicto semiótico ligado al proceso de particularización-generalización). Sin embargo, luego de haberlo asegurado, propone tres nuevos valores particulares de n y contrasta nuevamente la conjetura para, en sus palabras, “estar más seguro”. Esto nos da el indicio de que considera que con un solo caso no es suficiente. En otras palabras, hay duda, pero asociada a la cantidad de casos y no a su representatividad.

En la siguiente sección de la entrevista, se intenta ahondar en el valor epistémico que el alumno le atribuye a la conjetura y las argumentaciones que la sostienen:

P: ¿Vos podés asegurar que obtenés como resultado un número primo? C: Y, dentro de todo, sí. P: ¿Qué sería dentro de todo? C: Y, que tampoco voy a poner las manos en el fuego de que voy a tener un número primo sí o sí. P: ¿Y por qué no? ¿Por qué no pondrías las manos en el fuego? C: O sea, estoy seguro, pero… Bueno, sí, pongo las manos en el fuego. P: ¿Qué pensás que te falta para po der asegurarlo? C: Debería cambiar la expresión de n por todos los números y ver si todos me dan primo. Ahí sí estaría segurísimo. Pero como yo lo hice tres veces, o cuatro…

Fuente propia de la investigación

Figura 3 Resolución del estudiante C al problema 3. 

Como mencionamos antes, en su resolución escrita, el estudiante afirma que la proposición es verdadera; sin embargo, en la entrevista se pone de manifiesto una tensión entre la certeza de que la propiedad vale para todos los naturales y la duda generada por el hecho de no haber probado con todos los números. Esto puede tener su explicación en dificultades para transitar un proceso de reificación de un conjunto infinito que atienda a las propiedades comunes a un conjunto de números y no a cada elemento particular.

Conclusiones

El análisis desplegado permite identificar conflictos semióticos cognitivos en las prácticas de estudiantes de la escuela secundaria, particularmente, disparidades entre significados personales sobre conjetura y el significado pretendido desde la institución matemática. Además, pone en evidencia, a través de indicadores empíricos, el valor epistémico otorgado por los alumnos a las proposiciones emergentes de sus prácticas argumentativas. Específicamente, se revela que este valor epistémico, construido por estos estudiantes con base en sus propios recortes y significados parciales de los objetos involucrados en sus prácticas, obstaculiza la posibilidad de dudar sobre el alcance general de sus afirmaciones, ocultando el carácter provisorio de estas y la necesidad de plantear otro tipo de argumentación, tal como se pretende desde la institución matemática. En este sentido, coincidimos con ^{Duval (2016}), en cuanto a la influencia que ejerce el valor epistémico en la producción de pruebas.

La caracterización de los significados personales respecto a la formulación y argumentación de conjeturas nos lleva a confirmar que estas no significan para ellos conjeturas tal como son entendidas desde la institución matemática, sino que dicho significado es más cercano al de este objeto en la vida cotidiana, donde las afirmaciones son elaboradas, muchas veces, a partir de la observación de casos particulares y buscando, para su contrastación, ejemplos que refuercen su validez. Esto en coincidencia con lo planteado en ^{Godino y Recio (2001}) y ^{Buchbinder y Zaslavsky (2013}).

Consideramos, entonces, que es necesario, en el ámbito escolar, “acercar” los significados emergentes de los sistemas de prácticas personales de los estudiantes al significado institucional matemático de conjetura.

Un primer aspecto que se tiene que revisar es el tipo de prácticas matemáticas que deberían generarse en las clases, tendientes a recuperar el significado de conjetura que tienen disponibles los alumnos de secundaria, con el propósito de cuestionarlo, poner a prueba su alcance e intentar compatibilizarlo con el significado institucional de conjetura. Para ello, consideramos fundamental atender al tipo de problemas que se presentan en el aula, los cuales deberían contar con potencialidad epistémica para promover la elaboración y argumentación de proposiciones matemáticas. En este sentido, ^{Durand Guerrier et al. (2012a}) plantean que es necesario proponer a los estudiantes problemas abiertos, con los cuales deban determinar la verdad o falsedad de los enunciados, y sugerir tareas en las que la exploración los enfrente a resultados inesperados, contradicciones o ambigüedades, que los lleve a comprender y plantear demostraciones. Los problemas planteados en esta investigación tienen estas características y, además, son acordes con los principios desarrollados por ^{Lin et al. (2012}) para el diseño de tareas que promuevan no solo la producción de conjeturas, sino también la transición a la construcción de una prueba.

Asimismo, es necesaria una gestión docente que habilite la recuperación de los significados personales de los estudiantes a través de sus producciones, generando espacios que permitan explicitarlos y ponerlos en diálogo, tensionando los objetos puestos a funcionar en sus prácticas argumentativas y los procesos por ellos transitados (o no completados). Particularmente, consideramos que es fundamental una reflexión en el aula que posibilite poner en discusión las limitaciones de razonar, a partir de casos particulares, los significados que se les otorga a determinadas expresiones, la manera de materializar ciertas ideas y la forma de reificar los conjuntos sobre los cuales se determinan las propiedades. Este tipo de gestión conlleva la posibilidad de poner en evidencia conflictos semióticos efectivos que deben ser trabajados colectivamente en el aula. En este sentido, las producciones y las maneras de razonar de los alumnos no pueden quedar en la esfera de lo personal, sino que deben ser objeto de discusión en la clase y de institucionalización, ambas reguladas por el docente. De este modo, se podría propiciar, en el estudiantado, la generación de otro tipo de argumentaciones más formales, más cercanas a la demostración, tal como lo proponen diversos autores como ^{Stylianides y Stylianides (2009}), ^{Stylianides et. al. (2016}) y ^{Zaslavsky et al. (2012}).

Para generar este tipo de prácticas, sería necesario, según lo expresan ^{Carvajal et al. (2022}), un conocimiento especializado del profesor de matemática acerca de aspectos relacionados con la demostración, que puede formar parte del subdominio Knowledge of Practices in Mathematics (KPM) del modelo Mathematics Teacher’s Specialized Knowledge (MTSK) (^{Carrillo et al., 2018}). Consideramos que este saber debe involucrar los aspectos estudiados en este trabajo respecto a los significados personales de los alumnos sobre conjetura, como parte de las prácticas vinculadas al quehacer matemático y, particularmente, a la forma en la que se produce el conocimiento en las matemáticas.

Para finalizar, esta investigación intenta aportar elementos que enriquezcan las indagaciones actuales centradas en el contexto más amplio de la argumentación y la demostración matemática (y el ligamen entre ambos procesos) (^{Boero et al., 2007}; ^{Hanna y De Villiers, 2012}; ^{Mariotti, 2006}; ^{Stylianides et al., 2016}), al poner en evidencia la importancia de desvelar la complejidad ontosemiótica de las prácticas personales. Estas últimas se relacionan con la formulación y validación de conjeturas, igual que con los conflictos semióticos cognitivos que se asocian a los significados personales de los estudiantes de la escuela secundaria.