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Introducción
Diversos currículos de matemáticas consideran la resolución de problemas como una estrategia metodológica en el proceso de enseñanza, lo que justifica que se haya convertido en tema de interés consolidado en la investigación dentro de la educación matemática (Espinoza, 2017; Ministerio de Educación Pública, 2012; Moreno et al., 2015).
Aunque en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas el desarrollo de competencias para la resolución de problemas se ha situado en el centro de la práctica educativa, investigaciones recientes sugieren incorporar la creación de problemas como habilidad complementaria en los procesos instruccionales (Pino-Fan et al., 2020; Silver, 2013). Esta competencia no solo mejora la capacidad para resolver problemas, sino que incrementa la motivación y acerca las matemáticas al estudiantado mediante una sensación de creación propia (Espinoza, Lupiáñez y Segovia, 2014; Mallart, Font y Diez, 2018; Silver, 2013; Tichá y Hošpesová, 2013). Además, constituye un recurso potente para desarrollar y evaluar el aprendizaje de las matemáticas, dado que requiere dominio del lenguaje, conceptos, procedimientos y procesos matemáticos involucrados (Ayllón, Gallego y Gómez, 2016; Fernández-Millán y Molina, 2016; Kwek, 2015).
Las investigaciones sobre creación de problemas de matemáticas con propósitos didácticos mencionan, de manera explícita, su vínculo con las competencias docentes y señalan la importancia de incluir la invención de problemas en los programas de formación de profesorado (Ellerton, 2013; Espinoza et al., 2014; Malaspina, 2016; Mallart et al., 2018; Milinković, 2015; Silver, 2013; Tichá y Hošpesová, 2013). El personal docente, además de resolver problemas, debe ser capaz de modificarlos o crearlos con una finalidad didáctica (facilitar o profundizar en el aprendizaje de sus estudiantes y estimular su razonamiento matemático), así como de evaluar críticamente la calidad de la actividad matemática que promueven (Malaspina, Mallart y Font, 2015; Malaspina, Torres y Rubio, 2019). Sin embargo, incluso docentes con años de experiencia tienen dificultades para proponer problemas relevantes para el aprendizaje de sus estudiantes, plantean enunciados que no están adaptados al nivel educativo, son incorrectos o incompletos, y mayoritariamente en un contexto exclusivamente intra-matemático (Singer y Voica, 2013).
Incorporar la creación de problemas en la formación de profesorado supone desarrollar herramientas teórico-metodológicas que lo guíe en una tarea compleja que no ha recibido la atención suficiente (Ellerton, 2013; Mallart et al., 2018). Se trata, en primer lugar, de elaborar instrumentos para orientar el análisis, la selección, modificación y planteamiento de problemas para responder a determinados requerimientos matemáticos o didácticos. En segundo lugar, supone planificar y llevar a la práctica estrategias formativas en las que la creación de problemas aparezca como recurso para involucrar a los futuros cuerpos docentes en actividades de aprendizaje auténticas que fomenten una comprensión sólida de los contenidos matemáticos (Singer, Ellerton y Cai, 2013).
En nuestro caso, centramos la atención en la proporcionalidad. A pesar del gran número de aplicaciones del razonamiento proporcional en diferentes contextos (Balderas, Block y Guerra, 2014; Lundberg, 2011), así como de su ''papel primordial en el desarrollo de las ideas matemáticas del estudiante''(Mochón, 2012, p. 134), diversas investigaciones señalan la limitada comprensión de la razón y proporción, así como las dificultades para enseñar las nociones fundamentales de la proporcionalidad que muestran tanto docentes en formación inicial como en servicio (Ben-Chaim, Keret e Ilany, 2012; Balderas et al., 2014; Buforn, Llinares y Fernández, 2018; Burgos y Godino, 2021; Riley, 2010; Rivas, Godino y Castro, 2012; entre otras). En particular, el profesorado encuentra limitaciones para diferenciar situaciones proporcionales de otras que no lo son (Fernández, Llinares y Valls, 2012). Por un lado, el conocimiento insuficiente del contenido matemático, en nuestro caso la proporcionalidad, limita su capacidad para crear problemas pertinentes; pero, por otro, dicho conocimiento no es suficiente para que formulen problemas que respondan a determinados requerimientos matemáticos o didácticos (Burgos y Godino, 2021; Rivas et al., 2012).
Creación de problemas
La creación de problemas se considera, desde hace algunas décadas, una herramienta de investigación y enseñanza en la educación matemática (Singer et al., 2013). En dicho proceso, el estudiantado construye interpretaciones personales de situaciones concretas a partir de su propia experiencia matemática, y las formulan en términos de problemas matemáticos significativos (Bonotto, 2013; Espinoza, Lupiáñez y Segovia, 2016; Koichu y Kontorovich, 2013; Stoyanova y Ellerton, 1996). El carácter ''significativo''de un problema viene dado por cualidades como simplicidad, brevedad, claridad, elegancia, utilidad, profundidad y complejidad matemática, ingenio, exigencia cognitiva, novedad y sorpresa, que deben ser reconocidas como tales por quien lo inventa o resuelve (Koichu y Kontorovich, 2013). De acuerdo con Bonotto (2013):
La creación de problemas, por lo tanto, se convierte en una oportunidad para la interpretación y el análisis crítico de la realidad, ya que: (1) los estudiantes tienen que discernir los datos significativos de los irrelevantes; (2) deben descubrir las relaciones entre los datos; (3) deben decidir si la información que poseen es suficiente para resolver el problema; y (4) tienen que investigar si los datos implicados son numérica y/o contextualmente coherentes. (p. 40)
Para Stoyanova y Ellerton (1996), los procesos de planteamiento de problemas pueden realizarse desde tres categorías diferentes: libre, donde estudiantes formulan problemas sin ninguna restricción sobre la situación general, con base en sus experiencias dentro y fuera del aula de matemáticas (Serin, 2019); semiestructurada, en la que se brinda a estudiantes una situación abierta y se les invita a explorar la estructura de esta situación y a completarla utilizando los conocimientos, las habilidades y las relaciones derivadas de experiencias matemáticas anteriores (es frecuente el uso de representaciones visuales, gráficos, tablas, historias verbales abiertas, o representaciones simbólicas) (Serin, 2019); estructurada, donde se crean problemas mediante la variación de la estructura, las condiciones o las preguntas de problemas dados o resueltos (Serin, 2019). Basándose en el modelo de Stoyanova y Ellerton (1996); Christou et al., (2005), estudian los procesos involucrados en la creación de problemas y los clasifican en cuatro categorías crecientes en complejidad: edición (creación de problemas sin restricción a partir de la información, historia o indicaciones dadas), selección (formulación de problemas que se ajustan a respuestas específicas dadas que actúan como restricción) comprensión (en base a cálculos matemáticos o ecuaciones dadas) y traducción de la información (creación de problemas a partir de gráficos, diagramas o tablas). Posteriormente, Kiliç (2013) propuso un modelo de planteamiento de problemas en el que combina las clasificaciones propuestas por Stoyanova y Ellerton (1996) y Christou et al. (2005): creación libre de problemas, donde se pide que se plantee un problema difícil o un problema específico; semiestructurada, que implica editar y traducir y estructurada, que involucra procesos de comprensión y selección.
Para que el profesorado pueda diseñar actividades de invención de problemas adecuadas para sus estudiantes y gestionar las dificultades en dicha tarea, también debe estar capacitado para plantear problemas (Singer et al., 2013). Sin embargo, su formación no ha prestado la atención suficiente a la creación de problemas matemáticos (Ellerton, 2013, Xie y Masingila, 2017). Se observa que el profesorado en formación propone problemas muy sencillos, con enunciados ambiguos y desvinculados de la realidad de sus estudiantes (Mallart et al., 2018; Serin, 2019). Además, al crear más de un problema utiliza una estructura similar al problema inicial, lo que muestra falta de creatividad (Tichá y Hošpesová, 2013; Xie y Masingila, 2017).
En el caso concreto de la proporcionalidad, Şengül y Katranci (2015a, 2015b) investigan cómo futuro personal docente crea problemas sobre razón y proporción mediante los métodos libre, semiestructurado y estructurado. De manera general, los sujetos participantes proponen enunciados de tipo ejercicio, comprensibles y que admiten solución (Sengül y Katranci, 2015a), pero muestran su preocupación por no crear problemas adecuados al nivel de enseñanza media. Aparecieron dificultades fundamentalmente en la creación de forma libre (Sengül y Katranci, 2015a), debido a la falta de experiencia o de formación sobre la invención de problemas, el conocimiento limitado de los contenidos (Sengül y Katranci, 2015a, 2015b), la dificultad para escribir el texto de los problemas y el desconocimiento de los niveles cognitivos de estudiantes o el programa curricular (Sengül y Katranci, 2015b). Atendiendo a las carencias expresadas por los propios sujetos participantes, los estudios recomiendan fomentar el estudio de la resolución y creación de problemas y desarrollar métodos y recursos específicos de formación sobre creación de problemas. En el contexto del EOS, Burgos et al. (2018); Burgos y Godino (2021, 2022) emplean la creación de problemas como recurso para analizar y desarrollar los conocimientos didáctico-matemáticos de futuro personal docente (de primaria y secundaria) en proporcionalidad. Partiendo de la conexión entre razonamiento proporcional y algebraico, proponen a estos grupos docentes crear nuevos problemas a partir de uno dado de manera que se modifique el nivel de razonamiento algebraico, es decir, de generalidad y formalización, involucrado en su solución. Los resultados muestran que dicha tarea es compleja para el futuros profesorado, que en gran medida crea problemas demasiado alejados del original, no son significativos o no involucran el razonamiento proporcional. Aun teniendo en cuenta la dificultad intrínseca al requerimiento explícito (el nivel de razonamiento algebraico implicado) las limitaciones encontradas en la formulación de enunciados pertinentes por el futuro profesorado, lleva a concluir que es necesaria una mayor formación específica en la creación de problemas (Burgos y Godino, 2022).
Marco teórico
Dado que el foco de interés de nuestra investigación es la formación de profesorado de matemáticas, es preciso especificar el modelo de conocimientos y competencias profesionales que asumimos. En nuestro caso, adoptamos el modelo de conocimientos y competencias didáctico-matemáticas (CCDM) del profesorado de matemáticas propuesto en el marco del EOS (Godino et al., 2017).
Modelo de conocimiento y competencias del profesor de matemáticas
Desde el modelo CCDM (Godino et al., 2007) se asume que el profesorado debe disponer de un conocimiento matemático per se, que le permita resolver las situaciones-problemas propias del nivel educativo en el que imparte sus clases, y articularlo con los niveles superiores. Pero, a medida que aparezca involucrado algún contenido matemático, el profesorado debe disponer de un conocimiento didáctico-matemático de las distintas facetas que afectan el proceso educativo: epistémica (cómo conoce y comprende las matemáticas el profesorado), cognitiva (cómo el estudiantado entiende, razona y aprende, razona las matemáticas y de qué manera progresa en su aprendizaje), afectiva (conocimientos referentes al afecto, emociones, actitudes de estudiantes y sus creencias sobre los objetos matemáticos y su estudio), mediacional (conocimiento de los recursos materiales, físicos o tecnológicos, y temporales), interaccional (cómo se produce la enseñanza de las matemáticas, cómo deben organizarse las tareas y las interacciones en el aula para progresar en el aprendizaje y resolver los conflictos), ecológica (conocimiento de las conexiones del contenido matemático con otras disciplinas y cómo la instrucción matemática se ve afectada por factores curriculares, socio-profesionales, etc.).
En el modelo CCDM se articulan, de manera natural, las competencias y conocimientos didácticos. En efecto, las prácticas matemáticas y didácticas se entienden como acciones que lleva a cabo un sujeto para resolver una situación-problema o afrontar una tarea. Las prácticas de tipo discursivo-declarativo indican la disposición de conocimientos, mientras que aquellas de carácter operatorio-procedimental muestran la posesión de una capacidad o competencia, de manera que la realización competente de prácticas operatorias implica la puesta en juego de conocimientos de tipo declarativo (Godino et al., 2017). Así, el profesor o profesora debe disponer de dos competencias clave: la competencia matemática y la competencia de análisis e intervención didáctica que, en esencia, consiste en ''diseñar, aplicar y valorar secuencias de aprendizaje propias, y de otros, mediante técnicas de análisis didáctico y criterios de calidad, para establecer ciclos de planificación, implementación, valoración y plantear propuestas de mejora''(Breda, Pino-Fan y Font, 2017, p. 1897). Esta competencia global del profesorado de matemáticas está articulada por medio de cinco subcompetencias, asociadas a las herramientas conceptuales y metodológicas del EOS: competencia de análisis de significados globales (identificación de situaciones-problemas y prácticas de tipo operativo o discursivo implicadas en su resolución); competencia de análisis ontosemiótico de las prácticas (reconocimiento de la estructura de objetos y procesos matemáticos implicados en las prácticas); competencia de gestión de configuraciones y trayectorias didácticas (descripción y secuenciación de los patrones de interacción entre docente, estudiantes, contenidos y recursos); competencia de análisis normativo (identificación de la red de normas y metanormas que condicionan y fundamentan el proceso instruccional); competencia de análisis de la idoneidad didáctica (evaluación del proceso de enseñanza y aprendizaje y propuesta de mejoras).
De manera específica, el profesorado de matemáticas debe ser competente para a) identificar la diversidad de prácticas, objetos y procesos que se ponen en juego ante una tarea concreta (faceta epistémica); b) resolver la tarea empleando distintos procedimientos y mostrando diversas justificaciones (faceta instruccional); c) modificarla atendiendo a ciertas finalidades didácticas y los conocimientos y dificultades que encuentre o pueda encontrar el alumnado (facetas instruccional y cognitiva) (Godino et al., 2017). Así, la creación de problemas constituye una parte esencial de la competencia del profesorado de matemáticas, en tanto posibilita adecuar las situaciones-problemas a las necesidades estudiantiles, fomenta su creatividad y flexibilidad, y contribuye a reforzar e interconectar los conocimientos matemáticos y didácticos sobre el contenido.
Propuestas de creación de problemas en la formación del profesorado
A pesar de que existen diferentes propuestas de estrategias o metodologías para guiar la creación de problemas (Contreras, 2007; Espinoza et al., 2016; Kiliç, 2013; Şengül y Katranci, 2015a; Serin, 2019; Stoyanova y Ellerton, 1996), en este trabajo adoptamos la propuesta desarrollada por Malaspina y colaboradores (Malaspina, 2016; Malaspina et al., 2015; Malaspina et al., 2019). De acuerdo con Malaspina (2016), la creación de problemas es un proceso por el que se obtiene un nuevo problema, el cual está determinado por cuatro elementos fundamentales: la información, es decir, los datos cuantitativos o relacionales dados en el problema; el requerimiento, esto es, lo que se pide (cuantitativo o cualitativo) que se halle, analice o demuestre; el contexto, que puede ser intra o extra matemático; el entorno matemático en el que se encuentran los conceptos y propiedades matemáticas que intervienen o pueden hacerlo para resolver el problema, por ejemplo: aritmética, funciones lineales, geometría analítica, probabilidad, etc.
Según Malaspina (2016), la creación de nuevos problemas puede darse esencialmente por dos procesos: variación y elaboración. En la variación de un problema se crea un nuevo problema modificando uno o más (pero no todos) de los cuatro elementos del problema inicial. Por otro lado, en la elaboración de un problema se crea un nuevo problema bien de forma libre, a partir de una situación (dada o configurada por el autor o autora), o bien, para responder a un requerimiento específico que puede tener énfasis matemático o didáctico. En la elaboración de un problema a partir de una situación, el contexto se origina en la situación, la información se obtiene por selección o por modificación de la que se percibe en tal situación, el requerimiento es una consecuencia de las relaciones entre los elementos de la información implícita en el enunciado y el entorno matemático se puede determinar por el autor o autora o por las formas de resolver el problema. En la elaboración a partir de un requerimiento específico (matemático o didáctico), el contexto o la información debe establecerse para responder de manera adecuada a dicho requerimiento.
Objetivo de investigación
Teniendo en cuenta la importancia de la creación de problemas en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, así como las deficiencias que encuentra el futuro profesorado en su uso como herramienta didáctica, el objetivo de nuestra investigación es describir el diseño, implementación y resultados de una intervención formativa con futuro personal docente de primaria, centrada en la creación de problemas de proporcionalidad con fines didácticos, donde la creación de problemas no es solo el objeto o motivo de la acción formativa, sino un medio para valorar y desarrollar conocimientos didáctico-matemáticos relativos al razonamiento proporcional. En el diseño se sigue el esquema desarrollado por Malaspina (2016).
Metodología
El estudio se enmarca en una investigación descriptiva de enfoque mixto (cualitativa y cuantitativa). Teniendo en cuenta el problema de investigación, el marco metodológico será la ingeniería didáctica, entendida en el sentido generalizado propuesto por el EOS (Godino et al., 2014) que sigue las fases propias de las investigaciones de diseño: estudio preliminar (estudio de los referentes sobre creación de problemas y conocimientos didáctico-matemáticos en relación con la proporcionalidad que requiere el futuro personal docente para plantear problemas pertinentes; análisis de los recursos técnicos y temporales previstos), diseño de la trayectoria didáctica (selección, secuenciación y análisis a priori de los problemas, planificación de intervenciones controladas por la parte docente), implementación de la trayectoria didáctica (observación de las interacciones entre personas, recursos y evaluación de los aprendizajes logrados), análisis retrospectivo (confrontación entre lo previsto en el diseño y lo observado como resultado de su implementación). Además, se emplea el análisis de contenido (Cohen, Manion y Morrison, 2018) para examinar los protocolos de respuesta de estudiantes para docentes de primaria que intervinieron en la experiencia formativa. A continuación, se describen el contexto de la investigación y su diseño, prestando atención a la selección y análisis a priori de las tareas propuestas a las personas participantes.
Contexto y participantes
La acción formativa se llevó a cabo con un grupo de 127 estudiantes para maestro de Educación Primaria (EPM en adelante), en el marco de la asignatura de Diseño y Desarrollo del Currículum de Matemáticas en Educación Primaria (sexto semestre) en la Universidad de Granada (España).
Los sujetos participantes habían estudiado la proporcionalidad como parte de los contenidos de la asignatura de Bases Matemáticas para la Educación Primaria durante su primer semestre de formación universitaria. En esta asignatura se espera que EPM
lleguen a conocer y articular los principales conceptos, procedimientos y sus propiedades en los diferentes temas de las matemáticas de Educación Primaria y sean capaces de enunciar y resolver problemas matemáticos de manera flexible en una variedad de situaciones y contextos, comunicando de forma eficaz argumentaciones matemáticas. En la asignatura de segundo (cuarto semestre) el estudiantado recibió formación específica sobre los fundamentos de la didáctica de las matemáticas tanto en aspectos cognitivos (aprendizaje matemático, errores y dificultades), como instruccionales (tareas y actividades, materiales y recursos). En la asignatura en la que se desarrolla la experiencia, EPM deben profundizar y emplear los conocimientos adquiridos en los cursos previos para fundamentar, diseñar y valorar unidades didácticas. En particular, uno de los focos fundamentales de la asignatura es el análisis, diseño y secuenciación de tareas matemáticas de acuerdo con unas expectativas y contenidos de aprendizaje específicos.
Diseño e implementación de la intervención
La intervención formativa se desarrolló en cuatro sesiones (de dos horas cada una). En la primera sesión teórica se presentaron los elementos que guían el análisis y diseño de tareas matemáticas: el contenido a estudiar (prácticas y objetos matemáticos, significados, contextos), la finalidad y las posibles limitaciones (dificultades y errores). Se emplearon algunas tareas de proporcionalidad para ejemplificar su análisis, recordando los aspectos que generan mayores dificultades y errores: la relación de divisibilidad o no entre los números involucrados, que aparezcan razones no siempre enteras, las unidades de las magnitudes implicadas, la familiaridad con el contenido, el formato en que se presenta la tarea, por ejemplo, dónde se sitúa el valor desconocido en una situación de valor faltante, o discernir comparaciones multiplicativas de aditivas (Fernández y Llinares, 2011, 2012; Van Dooren et al., 2008).
En la segunda sesión, de carácter práctico, EPM trabajaron en equipos sobre el análisis de una tarea matemática de proporcionalidad con base en los elementos mencionados. En la tercera sesión (teórica) se presentó el modelo de creación de problemas de Malaspina (2016), mostrando ejemplos de variación y elaboración de problemas, de los que algunos respondían al entorno de la proporcionalidad. En la cuarta sesión, EPM trabajaron de nuevo de forma colaborativa, formando un total de 33 equipos de trabajo (a los que nos referiremos como E1, E2, etc.) para responder a las consignas siguientes sobre creación de problemas.
Tarea 1. Creación de problemas por variación
A partir de la siguiente situación, sacada de un libro de texto de educación primaria, debéis crear tres problemas por variación, de manera que en los tres problemas que creéis no cambien siempre los mismos elementos respecto del enunciado inicial.
Calcula el dato que falta
Entrada
Precio
Tarea 2. Creación de problemas a partir de un requerimiento didáctico-matemático
Crea un problema en el que los alumnos deban distinguir situaciones proporcionales de situaciones aditivas y no todas las razones que intervengan sean enteras.
Con la primera tarea, se pretende valorar el grado de conocimiento logrado sobre los elementos que caracterizan un problema y la flexibilidad de los EPM para crear problemas significativos partiendo de una situación dada cuando deben variar de diferentes formas dichos elementos. Con la segunda consigna se persigue, por un lado, valorar el conocimiento-didáctico matemático de EPM sobre aspectos esenciales del razonamiento proporcional, como son reconocer razones enteras (relación de divisibilidad entre los términos) y no enteras en la relación de proporcionalidad, identificar la relación multiplicativa en situaciones proporcionales (la relación entre las magnitudes es de la forma y = kx, siendo k una constante) y distinguirla de la relación aditiva (la relación entre las magnitudes es de la forma y = x + k , siendo k una constante) (Fernández y Llinares, 2011; Lamon, 2007; Van Dooren et al., 2008). Por otro, persigue evaluar su competencia para crear problemas en los que se pueda diagnosticar las posibles dificultades del alumnado de primaria con estos aspectos. Mostramos a continuación una posible solución (realizada por el equipo investigador) a cada una de las tareas propuestas a EPM.
Solución a la tarea 1. En el problema inicial, no aparece un contexto claro: se presenta una tabla a completar que relaciona ''entradas''y ''precio”. La información es el precio, 85 euros, que corresponde a 17 entradas. El requerimiento (incógnita) es el precio correspondiente a 9 entradas.
El entorno matemático es la proporcionalidad (se asume que se paga lo mismo por cada una de las entradas, luego el precio es directamente proporcional al número de entradas).
Problema creado por variación de la información y del requerimiento.
Calcula el dato que falta.
Entrada
Precio
Problema creado por variación del contexto y la información.
Si Neftalí compró 5 entradas para ir con sus amigos de la universidad a ver un partido al estadio y pagó 41 euros en total, ¿cuánto deberá pagarle Ismael por su entrada y la de su novia?
Problema creado por variación de la información, el requerimiento y el contexto.
Las maestras de 6º de primaria han pensado premiar a los alumnos y alumnas que obtuvieron sobresaliente en el último examen. La maestra de 6ºA les llevará al parque de las ciencias y la de 6º B al cine. La maestra de 6ºA ha pagado 84 euros por las entradas de sus 12 alumnos y la maestra de 6ºB ha pagado 45 euros por 9 entradas.
¿Qué es más caro, entrar al parque de las ciencias o al cine?
Solución a la tarea 2. A continuación, se incluye un ejemplo de problema (tomado de Burgos y Godino, 2022, p. 387) que responde a esta consigna:
Ana, María y Luis están plantando árboles en el campamento ''Repoblamos”. Ana y María empezaron al mismo tiempo, pero María es más rápida. Luis va a la misma velocidad que Ana, pero empezó antes. Cuando Ana había plantado 4 árboles, María había plantado 12 y Luis había plantado 8. Al acabar, Ana ha plantado 15 árboles.
¿Cuántos árboles habrá plantado María? Explica cómo lo has averiguado.
¿Cuántos árboles habrá plantado Luis? Explica cómo lo has averiguado.
Pasado un tiempo, si sabes el número de árboles que ha plantado Ana,
¿cómo podrías saber el número de árboles que ha plantado María? ¿Y el número de árboles que ha plantado Luis? Explica tu respuesta.
La relación entre los árboles plantado por Ana y María es directamente proporcional, dado que empezaron al mismo tiempo, pero María es más rápida. Cuando Ana había plantado 4, María había plantado 12 (el triple de rápida). Al acabar Ana ha plantado 15 árboles. La razón 4 a 15 no es entera, pero la razón 4 a 12 si lo es (12 = 4 x 3). En cambio, la relación entre los árboles plantados por Ana y Luis no es proporcional, dado que ambos van igual de rápido, pero Luis había empezado antes. Como plantan a la misma velocidad y Luis había plantado 8 árboles cuando Ana había plantado 4, quiere decir que le lleva ''4 árboles de ventaja”. Por tanto, el número de árboles que ha plantado Luis es 4 más (situación aditiva) que los árboles que ha plantado Ana, en cualquier momento.
Categorías de análisis
Presentamos en esta sección las categorías empleadas para la valoración de las respuestas de los sujetos participantes a las consignas previas. Estas fueron establecidas a priori por el equipo investigador teniendo en cuenta el requerimiento de la actividad: por un lado, la significatividad del enunciado y por otro lado, que se construya por variación del problema inicial en la primera tarea y que permita distinguir situaciones proporcionales de situaciones aditivas y no todas las razones involucradas sean enteras, en la segunda tarea.
Pertinencia de los problemas creados. Para que el problema se considere pertinente debe ser, en primer lugar, significativo. Esto supone que el enunciado propuesto establezca realmente un problema matemático, en particular, que la solución no esté implícita en el enunciado; que su redacción sea clara y no presente ambigüedad (falta o redundancia en la información), así como que se identifiquen claramente los distintos elementos que lo caracterizan. Si no posee alguna de estas características se considera un problema no significativo. En este sentido, y para el propósito de nuestra investigación, el enunciado no se considera significativo si solicita inventar un problema, o si el requerimiento implica solamente creencias, un dominio meramente conceptual o si es posible responder al mismo sin realizar ningún tipo de procedimiento matemático (aritmético, geométrico o de otro tipo). Un problema se considera pertinente cuando, además de ser significativo, responde a las condiciones establecidas para su creación (por variación o por elaboración).
En la primera tarea, EPM debían crear tres problemas distintos, a partir de uno inicial, variando en cada ocasión al menos dos de sus elementos, pero no todos. Contemplamos las siguientes categorías para analizar el grado de éxito de los enunciados propuestos:
Enunciado no pertinente. El enunciado propuesto no es significativo (Figuras1y2) o bien es significativo, pero no se obtiene por variación del inicial. Por ejemplo, es significativo, pero no variación del inicial, el problema propuesto por E33:
En una bolsa tenemos 85 bolas, 17 son rojas y el resto azules. ¿Qué probabilidad hay de sacar una bola azul? Y si el total es de 85 bolas y hay 17 azules, 25 bolas amarillas y 43 verdes, ¿cuál es la probabilidad de NO sacar una bola amarilla?
Enunciado poco pertinente. El enunciado propuesto es significativo y se obtiene por variación de un solo elemento del problema inicial. Un ejemplo en esta categoría vendría dado por el siguiente enunciado, donde se cambia únicamente el contexto:
El grupo de 2ºB va a ir al teatro para ver una representación teatral de Lorca, son 17 alumnos y las entradas cuestan 85 euros. El grupo de 3ºA quiere ir también, pero son 9 alumnos. ¿Cuánto le costarán las entradas? (E27)
Enunciado pertinente. El enunciado propuesto es significativo y se obtiene por la variación de más de un elemento del inicial, pero no todos (ver Figura3).
En la siguiente tarea se pide a los EPM que creen un problema cuya solución requiera distinguir situaciones proporcionales de situaciones aditivas y en el que no todas las razones involucradas sean enteras. Surgen así las siguientes categorías:
Enunciado no pertinente. El enunciado propuesto no es significativo (Figura6), o bien es significativo, pero no permite distinguir situaciones proporcionales de aditivas (Figura8, Figura9).
Enunciado poco pertinente. El enunciado propuesto es significativo, permite distinguir situaciones proporcionales de aditivas, pero todas las razones involucradas son enteras (véase la Figura10).
Enunciado pertinente. El enunciado propuesto es significativo, permite distinguir situaciones proporcionales de aditivas y no todas las razones involucradas son enteras.
Análisis y resultados
A continuación, presentamos los resultados del análisis de contenido de las respuestas elaboradas por los equipos de trabajo a las tareas propuestas en la intervención, siguiendo las categorías establecidas en la sección previa.
Creación de problemas por variación
En la primera tarea, los grupos de EPM debían crear tres problemas mediante la variación de al menos dos componentes del problema inicial, de manera que en las tres situaciones propuestas no modificasen siempre los mismos elementos respecto del enunciado de partida. La Tabla1 muestra los resultados en relación con el grado de pertinencia de los 96 problemas creados por los 32 equipos (el equipo E17 no creó ninguno de los tres problemas solicitados).
Como se observa en la Tabla1, el 81,25 % de los problemas creados fueron significativos y por variación de al menos un elemento en el enunciado inicial. Trece de los problemas propuestos por los EPM se consideraron (no pertinentes) no significativos. En primer lugar, dos de ellos (creados uno por E5 y otro por E14), no formulan un
Tabla 1 Distribución de frecuencia en la pertinencia de los problemas creados por variación por los equipos de EPM (n=96)
| Categoría | Frecuencia (Porcentaje) |
|---|---|
| Enunciado no pertinente | 18 (18,75) |
| No significativo | 13 (13,54) |
| Significativo, pero no por variación | 5 (5,21) |
| Enunciado poco pertinente | 16 (16,67) |
| Enunciado pertinente | 62 (64,58) |
| Total | 96 (100) |
Nota: Fuente propia de la investigación.
problema, sino que demandan inventar uno. Así E5 plantea ''Inventa un problema de proporcionalidad a partir de los siguientes datos”. Otros cinco equipos plantearon un problema cuya solución se encuentra dentro del enunciado. Un ejemplo se muestra en la Figura1.
Es posible que este equipo pretendiera decir que ''Ana se ha gastado 45 en comprar libros del mismo precio unitario que los que ha comprado Marta”, lo que además llevaría a suponer que todos los libros que compró Marta tenían el mismo precio (algo no establecido en el enunciado). Sin embargo, tal cual se enuncia, Ana compró los mismos libros que Marta, por lo que la cantidad de libros comprados por ella es 17 (igual a Marta).
Los otros seis problemas no significativos presentan ambigüedades, que impiden dar una solución numérica o relacional al problema. Por ejemplo, en el enunciad propuesto por E4 que aparece en la Figura2, se solicita determinar el precio total de las entradas de un grupo de escolares del que no se conoce el número de personas que lo forman. Con la información dada no se puede dar respuesta al problema.
Cinco equipos crearon un problema significativo, pero no pertinente, pues cambiaron los cuatro elementos (información, requerimiento, contexto o entorno) del problema inicial, por lo que no se consideran como variación del enunciado inicial. En la Tabla2 se muestra la distribución de elementos que variaron los sujetos participantes en los problemas poco pertinentes (16 en los que se modificó un único elemento respecto del enunciado inicial) o pertinentes (62 que variaron dos o más elementos del problema inicial). Todos ellos corresponden a problemas en el entorno de la proporcionalidad.
Fuente propia de la investigación.
Figura 1 Enunciado no significativo creado por E33 (con solución implícita).
Fuente propia de la investigación.
Figura 2 Problema no significativo, ambigüedad en el requerimiento (E4).
Tabla 2 Distribución de frecuencias de los problemas poco pertinentes y pertinentes creados por los equipos de EPM, según las combinaciones de los elementos variados del problema inicial (n=78)
| Elementos variados | Combinaciones de elementos variados | Frecuencia (Porcentaje) |
| 1 | Información | 2 (2,56) |
| Contexto | 14 (17,95) | |
| 2 | Información y requerimiento | 3 (3,85) |
| Requerimiento y contexto | 6 (7,69) | |
| Información y contexto | 19 (24,36) | |
| 3 | Información, requerimiento y contexto | 34 (43,59) |
| Total | 78 (100) |
Nota: Fuente propia de la investigación.
Como se observa en la tabla anterior, la combinación de elementos que los EPM varían con mayor frecuencia en el problema inicial para crear otros son: información, requerimiento y contexto (43,59 % de los problemas propuestos con cierto grado de pertinencia). Esto puede deberse a la mayor dificultad que supone para los EPM modificar la información (lo que se da) sin modificar el requerimiento (lo que se pide) o recíprocamente, algo que ellos mismos plantean a la profesora durante la intervención. En la Figura3 se presenta un ejemplo de problema creado por uno de los equipos en el que se varían estos tres elementos.
También se puede observar en la Tabla2 que el contexto aparece modificado en 73 (93,59 %) de los problemas, luego es el componente que presenta mayor variación (considerando todas las combinaciones que lo incluyen). En 65 (83,33 %) de los problemas propuestos el contexto es extra-matemático. En estos casos tienden a emplear mayoritariamente (en 45 enunciados) situaciones de ocio en las que las magnitudes relacionadas son ''cantidad de entradas''(al cine, conciertos, parques de atracciones, partidos, teatros, entre otras) y ''precio”, seguido de situaciones de compra de algún objeto (6 problemas) y actividades que implican cálculos de tiempo (5 problemas). Como en el trabajo de Tichá y Hošpesová (2013), los equipos EPM se alejan poco del contexto de la situación inicial para crear los demás problemas. Esto sugiere, como ya observaron Balderas et al. (2014), ciertas limitaciones de EPM para inventar problemas con distintas magnitudes relacionadas o contextos, y la tendencia a conservar una estructura similar al del problema dado.
La información es el segundo elemento que los EPM varía con mayor frecuencia respecto del problema original (Tabla 2). Este se modificó en 58 (74,36%) de los problemas. En este caso, las personas participantes cambiaron principalmente los valores conocidos, pero mantuvieron la posición de estos y no añadieron nuevos datos al enunciado. Se concibe además la proporcionalidad siempre desde un enfoque aritmético (Aroza, Godino y Beltrán-Pellicer, 2016). En la Figura 4 se muestra un ejemplo de problema poco pertinente, en el que los EPM variaron únicamente la información.
Fuente propia de la investigación.
Figura 3 Problema pertinente elaborado por variación de la información, requerimiento y contexto (E28).
Fuente propia de la investigación.
Figura 4 Problema elaborado por variación única de la información (E27).
De los 24 equipos que crearon más de un problema pertinente, solo dos equipos diseñaron tres problemas en los que no siempre variaron los mismos elementos (respondiendo a lo que se pedía en la tarea); catorce crearon al menos dos problemas variando una combinación diferente de los elementos del problema inicial (ver Figura 5); siete equipos propusieron solo dos problemas con los mismos elementos variados; y un equipo creó los tres problemas con la misma modificación en los elementos del problema propuesto.
Como se observa en la Figura 5, en ambos problemas propuestos, el equipo E25 varía el contexto respecto del enunciado inicial y la información. En el problema 2, el requerimiento lleva igual que en el problema inicial a determinar un valor faltante (con la salvedad de que, en este caso, se conoce el valor unitario), mientras que en el problema 1 se cambia uno de los datos conocidos en el problema de partida (en lugar de 9 entradas utiliza 1) y el requerimiento supone determinar el precio de una entrada (situación proporcional) y, además, el coste añadiendo el precio de la suscripción (aditiva).
Creación de problemas a partir de un requerimiento didáctico-matemático
En la segunda consigna, los equipos de EPM debían crear un problema que llevara a distinguir situaciones directamente proporcionales de situaciones aditivas y que las razones involucradas no fueran todas enteras (requerimiento didáctico-matemático). En este caso, como se observa en la Tabla 3, casi la totalidad de los problemas creados son no pertinentes.
Fuente propia de la investigación
Figura 5 Problemas con una combinación diferente de elementos variados (E25).
Tabla 3 Distribución de categorías y frecuencias de problemas creados por requerimiento didáctico-matemático (n= 33)
| Categorías | Frecuencia (Porcentaje) | |
|---|---|---|
| Enunciado no pertinente | 32 (96,97) | |
| No significativo | 14 (42,42) | |
| Significativo, pero no permite distinguir situaciones proporcionales de aditivas | 18 (54,55) | |
| Enunciado poco pertinente | 1 (3,03) | |
| Enunciado pertinente | 0 (0) | |
| Total | 33 (100) |
Nota: Fuente propia de la investigación.
Gran parte de los problemas elaborados por los EPM en esta tarea fueron no significativos. En este caso, la razón principal se debe a que doce de los enunciados propuestos son ambiguos (no dejan claro el requerimiento o la relación entre las magnitudes involucradas) y dos no se consideraron problema, dado que piden al alumnado determinar si ciertas proposiciones (en relación con magnitudes directamente proporcionales) son correctas o decidir qué situaciones responden a una relación de proporcionalidad directa (o inversa). A continuación, mostramos ejemplos para los enunciados identificados.
El problema propuesto por E11 (Figura 6) muestra un ejemplo de enunciado ambiguo, pues no se establece la condición de regularidad: ''el consumo es constante en ambos coches”, que necesaria para contestar la primera pregunta. Además, suponiendo el consumo constante, las razones 3,5 a 10 frente a 3 a 10 permiten decidir cual tiene un mayor consumo, lo que responde directamente a la segunda pregunta planteada por E11. En todo caso, no se hace mención del precio del litro de combustible que no tiene por qué ser el mismo para ambos tipos (gasoil o gasolina).
Esta falta de reflexión por parte de los grupos de EPM sobre las condiciones que permiten reconocer si una situación es de proporcionalidad directa al plantear un problema, es un hecho muy frecuente en las propuestas de los equipos. Como se observa en el enunciado propuesto por E7 en la Figura 7, no se establecen las condiciones de regularidad (todas las barras de pan cuestan lo mismo, los obreros trabajan a igual ritmo, el caudal del grifo es constante, etc.) que permitan responder si la frase es correcta o no en base a la existencia o no de una relación de proporcionalidad directa, inversa o de otro tipo.
De la Tabla 3 se sigue que más de la mitad de los problemas (18 de los 33), si bien eran significativos no permitían distinguir situaciones proporcionales de aditivas. En su mayoría, catorce, presentan solo situaciones proporcionales, de estos, cuatro tienen todas las razones enteras y diez utilizan razones donde no todas son enteras. Los restantes, no incluyen situaciones proporcionales, sino que o bien establecen una relación aditiva entre magnitudes, o bien, plantean un problema aditivo de comparación. Aunque en principio esta dificultad para plantear un problema que permita distinguir situaciones proporcionalidades de aditivas puede venir motivado por la propia dificultad en los futuros cuerpos docentes para diferenciarlas (Balderas et al., 2014; Buforn y Fernández, 2014; Burgos et al., 2018; Burgos y Godino, 2020, 2021, 2022), en otros casos, se observa que la limitación la encuentran para involucrar ambas relaciones entre diferentes magnitudes en un mismo problema.
Por ejemplo, en la Figura 8, se incluye el problema propuesto por E1, en el que la relación entre las magnitudes (número de vuelta al patio dadas por Mónica y número de vueltas dadas por Juan) es aditiva (Juan siempre le lleva 3,5 vueltas de ventaja). El equipo E1 diferencia situaciones aditivas de proporcionales y reconoce el error frecuente en estudiantes para tratar como multiplicativa una relación aditiva. Sin embargo, su enunciado no involucra ambos tipos de situaciones como se esperaba.
En relación con esta dificultad, los equipos de EPM consideran que ''distinguir''una situación proporcional de una aditiva supone proponer problemas de dos etapas: una que plantea la relación entre una (o dos) relaciones multiplicativas entre magnitudes (por ejemplo, en el enunciado de la Figura 9, número de libretas -precio pagado por ellas- y número de paquetes de subrayadores -precio pagado por ellos-) y después una segunda etapa en el problema se resuelve con una operación aditiva, suma frecuentemente (''¿Cuánto dinero ha gastado?”, en la Figura 9).
Las personas participantes tienen mayor facilidad para establecer razones enteras y no enteras en problemas donde no distinguen situaciones proporcionales de
Fuente propia de la investigación
Figura 8 Problema significativo no pertinente, relación aditiva entre magnitudes (E1).
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Figura 9 Problema significativo, no pertinente: solo situación proporcional, precio unitario decimal (E16).
aditivas. Cuando los grupos de EPM buscan razones no enteras (relación a : b cuando a no es múltiplo o divisor de b ) recurren en su mayoría a la expresión de la razón como número decimal (si bien estas razones se entienden como relaciones entre números enteros), estableciendo la relación que consideran no enteras usualmente entre distintas magnitudes (precio unitario decimal como se ve en la Figura 9).
Finalmente, la Tabla 3 pone de manifiesto que ninguno de los equipos logró responder de manera correcta y completa a lo que se les solicitaba de forma explícita en esta tarea. Solo un equipo planteó un problema (Figura 10) que involucra situaciones aditivas y proporcionales, si bien todas las razones son enteras.
Conclusiones
En este artículo hemos informado del diseño, implementación y análisis de una intervención con futuro personal docente de educación primaria, basada en la creación de problemas de proporcionalidad por variación o por elaboración para responder a un requerimiento didáctico-matemático específico. Los resultados obtenidos ayudan, por un lado, a identificar y comprender las limitaciones que presentan en estas tareas y a diagnosticar los conocimientos y competencias didáctico-matemáticas que ponen en juego en la formulación de problemas sobre proporcionalidad. Por otro, a tomar decisiones y pautas preventivas que favorezcan el desarrollo de habilidades en la creación como parte de la formación docente (Mallart et al., 2018).
Teniendo en cuenta el carácter piloto de esta experiencia, es importante considerar las limitaciones encontradas para mejorar el diseño en futuras implementaciones. Cuando los grupos de EPM crean problemas de proporcionalidad por variación escogen fundamentalmente el enfoque aritmético de la proporcionalidad. Como muestran investigaciones previas, este es el enfoque prioritario (Ben-Chaim et al., 2012) ''presente en múltiples situaciones de la vida cotidiana y en prácticamente todas las disciplinas científicas, incluidas las sociales y las artes''(Balderas et al., 2014, p. 2). Sin embargo, el profesor debe conocer los diversos significados de la proporcionalidad, por lo que, en futuras intervenciones, sería adecuado diseñar consignas de creación de problemas específicas para significados como el geométrico, funcional (Aroza et al., 2016; Burgos y Godino, 2020) o incluso probabilístico, en el que el razonamiento proporcional juega un papel decisivo (Begolli et al., 2021).
La mayoría de los enunciados creados por variación fueron pertinentes, es decir, significativos y modificando dos de los cuatro elementos que caracterizan un problema (contexto, entorno, información y requerimiento). En este caso, debido quizás
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Figura 10 Problema poco pertinente. Distingue situaciones proporcionales de aditivas, pero todas las razones son enteras (E9).
al formato del problema dado, vinculado a una ''tabla de proporcionalidad”, este fue el entorno en todos los enunciados pertinentes y el contexto fue el extra-matemático. Para Calvo (2008), esta relación de las matemáticas con la cotidianidad acrecienta el conocimiento matemático, mostrando al alumnado que esta disciplina se encuentra también fuera de las aulas. Esto permite a los futuros y futuras docentes desarrollar el componente afectivo mediante la utilidad de la proporcionalidad en la vida diaria (Beltrán-Pellicer y Godino, 2020).
A pesar del éxito para crear enunciados pertinentes por variación, formular diversos problemas en los que no siempre se modifiquen los mismos elementos fue algo que supuso mayor dificultad a los grupos de EPM: la tercera parte de los equipos no pudo crear dos problemas variando una combinación diferente de los elementos del problema inicial. A pesar de que la creación de problemas forma parte de la formación sobre enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en el grado de educación primaria, esta se centra en la formulación de problemas aritméticos de estructura aditiva o multiplicativa en base al tipo de estructura semántica del problema, así que, fuera de este ámbito, los equipos de EPM se encuentran en una posición extraña e inusual que requiere de una mayor formación (Tichá y Hošpesová, 2013). Como sugieren Tichá y Hošpesová (2013), los profesores y profesoras ''deben ser conscientes de los múltiples aspectos asociados al proceso de planteamiento de problemas''(p. 142), lo que supone entre otros, conocer la forma de articular información y requerimiento de manera adecuada en la formulación de un problema. Este ha sido el elemento más controvertido cuando los EPM de nuestra experiencia debían modificar estos elementos. Por otro lado, nos lleva a plantear la necesidad de que los programas de formación de docentes refuercen las estrategias de creación de problemas a lo largo de toda la formación y en diversos contenidos de las matemáticas.
Las dificultades encontradas tanto en estudiantes como en docentes en formación (Buforn y Fernández, 2014; Burgos y Godino, 2021; Fernández y Llinares, 2011, 2012), lleva a considerar la distinción entre situaciones proporcionales y aditivas como uno de los objetivos a lograr en la formación de profesorado sobre razonamiento proporcional (Buforn et al., 2018). Por este motivo, la creación por parte de los futuros personales docentes de problemas en los que se persiga este aspecto, puede ser un buen recurso para superar estas limitaciones. Sin embargo, los resultados de nuestra investigación muestran un conocimiento matemático y didáctico insuficiente en los EPM para abordar con éxito esta tarea, que se observa también en una interpretación inadecuada de las razones enteras o no enteras en situaciones de proporcionalidad. Dado que, en este caso, se pueden haber entrelazado carencias en el conocimiento matemático con la complejidad para involucrar diversas relaciones entre diferentes magnitudes en un mismo problema (que hayan derivado en un gran porcentaje de problemas no significativos) sería necesario determinar, y mejorar si fuera necesario, el conocimiento matemático de los participantes sobre razonamiento proporcional previo a la intervención. De igual forma, se debe insistir en el aspecto relacional y de correspondencia entre magnitudes, trabajando situaciones proporcionales y no proporcionales, prestando atención especial a las relaciones aditivas entre magnitudes (dado que en esta investigación la mayoría de participantes parecían interpretarlas como problemas que se resuelven con una suma o resta). Esto permitirá averiguar qué dificultades con la creación de problemas tienen su origen en un conocimiento deficiente sobre la proporcionalidad, o cuáles se deben a la falta de comprensión de la consigna e indicaciones del instrumento.
También sería adecuado pedir (en futuras intervenciones) a los sujetos participantes la solución de los problemas inventados; en este trabajo no era parte de las consignas, por lo que solo algunos de los informes contenían dicha información. Parece que los futuros cuerpos docentes necesitan una reflexión más profunda sobre las prácticas matemáticas que motivan sus problemas, que no se logra si no se les pide explícitamente su solución. Además, sería pertinente una puesta en común para que analicen y valoren críticamente las propuestas de sus pares y sus propias producciones.
Coincidimos con estudios como los de Ellerton (2013); Malaspina et al. (2015); Şengül y Katranci (2015a) entre otros, al considerar que la creación de problemas debe tener un papel central en los planes de formación de profesorado. Junto con la flexibilidad de estrategias, la invención de problemas forma parte del conocimiento del profesorado para la enseñanza sobre resolución de problemas (Milinković, 2015; Piñeiro, Castro-Rodríguez y Castro, 2019). La creación de problemas en la formación inicial y continua les ayuda a mejorar su técnica de análisis de la actividad matemática (Mallart, Font y Malaspina, 2016), entendida como tarea docente esencial para anticipar conflictos de aprendizaje, gestionar los procesos de institucionalización necesarios y evaluar las competencias matemáticas del alumnado (Burgos y Godino, 2020).
Es posible replicar este estudio con ciertas adaptaciones, modificando el problema dado, el requerimiento didáctico-matemático o el entorno, para atender a nuevos conocimientos. La flexibilidad de la metodología permite diseñar e implementar nuevas intervenciones con docentes en formación de educación secundaria, así como con profesorado en ejercicio, tanto de educación primaria como de secundaria, en las que esperaríamos obtener mejores resultados que los actuales.
Financiamiento
Investigación realizada como parte del proyecto de investigación PID2019-105601GB-I00/AEI/10.13039/501100011033 (Ministerio de Ciencia e Innovación), con apoyo del Grupo de Investigación FQM-126 (Junta de Andalucía, España). Se reconoce el apoyo de la AUIP y la Consejería de Transformación Económica, Industria, Conocimiento y Universidades de la Junta de Andalucía como patrocinadores del Programa de Becas de Movilidad Académica de la AUIP.
