EL CONOCIMIENTO DEL PROFESORADO EN FORMACIÓN SOBRE FRACCIONES

Las fracciones son la base y el fundamento de contenidos matemáticos más avanzados (^{Lamon, 2005}); sin embargo, la investigación ha demostrado que los grupos escolares presentan dificultades con las fracciones (^{Behr, Wachsmuth, Post y Lesh, 1984}; ^{Cramer, Post y del Mas, 2002}; ^{Mack, 1990}). Para abordar adecuadamente estas dificultades, es importante que los maestros y maestras tengan un conocimiento adecuado sobre este tema y, por ende, sobre los números racionales. Esto ha dado lugar al desarrollo de estudios centrados en conocimientos específicos que docentes en formación expresan sobre las fracciones (^{D’Ambrosio y Mendoca, 1992}; ^{Domoney, 2001}), las operaciones con fracciones (^{Charalambous, Hill y Ball, 2011}; ^{Isiksal y Cakiroglu, 2011}; ^{Li y Kulm, 2008}), o en la equivalencia de fracciones (^{Marks, 1990}). Esos estudios resaltan las importantes limitaciones que presentan en este tema el profesorado en su formación inicial, y que en muchos casos coinciden con las que presenta la población escolar de Educación Primaria ^{(Isiksal y Cakiroglu, 2011}). Además, los futuros cuerpos docentes interpretan la fracción de manera casi exclusiva como relación parte-todo (^{Domoney, 2001}; ^{Lo y Grant, 2012}), aunque carecen de una comprensión clara de dicha noción (^{Castro-Rodríguez, Pitta-Pantazi, Rico y Gómez, 2016}; ^{Newton, 2008}). No obstante, estudios recientes aportan nuevos enfoques a la investigación sobre el tema, identificando que estos sujetos aprovechan su conocimiento previo sobre fracciones para desarrollar nuevas estrategias y ampliar así su conocimiento (^{Whitacre, Atabaş y Findley, 2019})

Otros trabajos analizan los efectos de la formación inicial en el conocimiento sobre fracciones del futuro profesorado de primaria (^{Rosli et al., 2020}; ^{Tröbst et al., 2018}; ²⁰¹⁹). Estos estudios coinciden en mostrar que, aunque hay evidencias de efectos en el conocimiento del contenido y el conocimiento didáctico del contenido, las mejoras en el conocimiento didáctico fueron más consistentes (^{Tröbst et al., 2018}; ²⁰¹⁹), incluso cuando la instrucción dedicada al conocimiento didáctico del contenido fue menor que la dedicada al conocimiento del contenido ^{(Rosli et al., 2020}). Sin embargo, cuando la muestra seleccionada es de profesorado de secundaria en formación, al contrario de lo que ocurre con docentes de primaria en formación inicial, se obtienen mejores resultados en el conocimiento del contenido, que en el didáctico (^{Depaepe et al., 2015}).

Centrándose en contenidos didácticos específicos, como los errores o la metodología de enseñanza, ^{Şahin, Gökkurt y Soylu (2016}) obtuvieron que los maestros y maestras en formación identifican parcialmente los errores de sus estudiantes y que el método dado para corregir tales errores se basa en la memorización de reglas. En esta misma línea, se han realizado estudios que proponen a los futuros maestros y maestras analizar respuestas de escolares a tareas de división de fracciones (^{Adu-Gyamfi, Schwartz, Sinicrope y Bossé, 2019}) y tareas de razonamiento proporcional (^{Jacobson, Lobato y Orrill, 2018}). Los resultados de estos trabajos, contradictorios entre sí, nos sugieren que los límites entre el conocimiento del contenido y el conocimiento didáctico del contenido no son claros. Mientras que, el trabajo de ^{Adu-Gyamfi et al. (2019}) afirma que las limitaciones en la capacidad de los futuros maestros y maestras, para analizar las respuestas de sus estudiantes, interpretar las estrategias y actuar ante estas, pueden ser debidas a su conocimiento didáctico y no a su conocimiento del contenido; ^{Jacobson et al. (2018}) destacan que los sujetos usaron su conocimiento del contenido para dar sentido a las respuestas de escolares y que un alto conocimiento didáctico no se reflejó en la forma en que los maestros y maestras usan el conocimiento matemático en situaciones de enseñanza.

Las representaciones y su uso en la enseñanza de las fracciones también han sido uno de los contenidos didácticos tratados en la investigación (^{Kang y Liu, 2018}; ^{Lee y Lee, 2019}; ^{Morris, Hiebert y Spizter, 2009}). Replicando el estudio de ^{Morris et al. (2009}), ^{Kang y Liu (2018}) se centran en cómo futuro profesorado chino propone una respuesta ideal de sus escolares a una tarea de suma de fracciones, y qué representación (material manipulativo, papel cuadriculado, algoritmo y monedas de un centavo) selecciona como ideal para resolver una tarea de suma de fracciones. A diferencia de los resultados de ^{Morris et al. (2009}), la mayoría eligió el problema del algoritmo como la representación más adecuada para resolver la tarea; mientras que la opción más popular entre los sujetos de EEUU fueron las monedas, seguido del problema del papel cuadriculado. Las razones dadas fueron de tipo pragmático como el tiempo para su resolución. Otro tipo de representaciones son sugeridas por docentes de primaria en formación en ^{Lee y Lee (2019}). En este trabajo, los autores investigan cómo los participantes percibían el uso de representaciones en la enseñanza de las matemáticas y qué representaciones consideran para superar errores de estudiantes en el aprendizaje de fracciones. Sus hallazgos mostraron la tendencia a usar pocos tipos de representaciones (área y longitud/lineal) y a hacerlo de manera procedimental.

De manera similar a los resultados obtenidos con maestros y maestras en formación, cuando los sujetos del estudio están en ejercicio, los estudios revelaron un limitado conocimiento sobre fracciones y números racionales (^{Jacobson y Izsák, 2015}; Klemer, Rapoport y Lev-Zamir, 2018; ^{Lee, Brown & Orrill 2011}; ^{Rojas, Flores y Carillo, 2015}). No obstante, en comparación con docentes en formación, no se han identificado diferencias significativas en el conocimiento del contenido matemático entre ambos grupos, pero sí en contenidos didácticos específicos, como selección de tareas o selección y uso de representaciones, más fáciles para los maestros y maestras en ejercicio (^{Charalambous, 2016}).

En resumen, los estudios previos se centran en evaluar el conocimiento sobre fracciones y números racionales de profesorado en formación (^{Depaepe et al., 2015}; ^{Tröbst et al., 2019}; ^{Şahin et al., 2016}) o en ejercicio (^{Jacobson y Izsák, 2015}; ^{Klemer et al., 2018}; ^{Lee, Brown & Orrill 2011}; ^{Rojas et al., 2015}), y destacan las carencias que presentan. Para poder superar estas carencias es necesario mejorar la formación delimitando los contenidos que han de formar parte de ella (^{Wu, 2018}). En este estudio pretendemos aportar a la mejora de esta problemática, abordando el conocimiento sobre fracciones, desde una perspectiva sobre la práctica docente, denominada análisis didáctico (^{Rico, 2016}). Específicamente, empleando el análisis didáctico, pretendemos elucidar aspectos básicos referidos a los contenidos didácticos de las fracciones, para ello profundizamos en el conocimiento relativo al diseño de tareas, objetivos de aprendizaje y limitaciones que manifiestan los maestros y maestras en formación inicial sobre el concepto de fracción.

ANÁLISIS DIDÁCTICO

Por análisis didáctico de un contenido matemático escolar entendemos un “método para analizar, estructurar e interpretar, dentro de un marco curricular, los contenidos didácticos de las matemáticas escolares, con el propósito de su planificación e implementación en el aula y su evaluación” (^{Rico, 2016}, p. 96). El análisis didáctico estructura, a su vez, un sistema de cuatro análisis, que llamamos:

Cada uno de estos análisis se fundamenta en una dimensión curricular específica, tiene un objeto propio de estudio y consta de un sistema de componentes organizadores. Los contenidos didácticos propios de cada tema de la matemática escolar se describen mediante esos organizadores. La necesidad de una metodología para el diseño y realización de nuestro estudio nos llevó a seleccionar el análisis didáctico con esta función (^{Rico, 2016}). En particular, este trabajo ha utilizado los componentes del análisis cognitivo, como categorías mediante las cuales identificamos, clasificamos e interpretamos las respuestas del profesorado en formación, relativas al aprendizaje escolar de las fracciones.

Sujetos

En este estudio participaron 9 docentes en formación que cursaban los estudios universitarios del Grado de Maestro en Educación Primaria en la Universidad de Granada. Los sujetos eran estudiantes de último curso de dicha titulación. Cursaron tres asignaturas de matemáticas durante su formación universitaria. La primera de ellas centrada en el estudio del contenido de las matemáticas escolares. La segunda centrada en la enseñanza y aprendizaje de los distintos núcleos temáticos de la matemática escolar concretada en aspectos cognitivos y didácticos. La tercera orientada al estudio del currículo de matemáticas de Educación Primaria y al diseño de unidades didácticas para esta etapa.

Los sujetos fueron seleccionados entre un grupo más amplio de 82 estudiantes que habían participado en un trabajo previo (^{Castro-Rodríguez et al., 2016}), donde se categorizaron los sujetos atendiendo a su conocimiento especializado del contenido de la relación parte todo. Los 9 sujetos participantes fueron seleccionados por pertenecer a cada una de las categorías de sujetos.

Recogida de datos e instrumento

La recogida de datos se realizó mediante entrevistas personales individualizadas con cada participante. Quien realizó la entrevista dispuso de un guion estructurado con las cuestiones a plantear a los sujetos participantes. En primer lugar, la entrevista les introdujo en una situación de enseñanza-aprendizaje relativa a las fracciones. Para ello, se entregó a cada sujeto una narración que cada quien había realizado en clase sobre cómo iniciar a los grupos escolares en el concepto de fracción. Tras la lectura de la narración, planteamos las preguntas relativas a los tres contenidos didácticos: diseño de tareas, objetivos, y errores y dificultades (Tabla 1). Entre los distintos contenidos didácticos nos centramos en estos, dado que son aspectos fundamentales en la planificación de la enseñanza (^{Lupiáñez, 2009}).

Procedimiento

Las entrevistas se realizaron de manera individual, en una habitación aislada, para que el sonido de la grabación de audio fuese óptimo. El entrevistador era el docente de la asignatura “Diseño y desarrollo del currículo de matemáticas en Educación Primaria” que los sujetos se encontraban cursando. La relación de confianza que los sujetos tenían con el entrevistador permitió un ambiente natural durante el proceso, así como obtener su colaboración. Para detectar posibles errores en el diseño y aplicación de la entrevista, se realizó un ensayo con dos sujetos tres semanas antes de realizar las entrevistas definitivas. Tras esta prueba, las tareas y preguntas de esta nueva versión resultaron claras y apropiadas, por lo que no se hicieron más modificaciones.

Análisis de los datos

Las entrevistas fueron grabadas en audio y posteriormente transcritas para su análisis. Realizamos un análisis cualitativo de las respuestas para cada una de las preguntas planteadas sobre diseño de tareas, objetivos y errores y dificultades, específicamente un análisis de contenido (^{Krippendorff, 1990}). Para ello, nos basamos las categorías desarrolladas en el trabajo de ^{Lupiáñez (2009}) donde se analizaron dichos contenidos didácticos en unidades didácticas de un tema de las matemáticas escolares.

En primer lugar, las respuestas al diseño de tareas fueron analizadas atendiendo a la estructura de la relación parte-todo presente en el enunciado.

En segundo lugar, para el planteamiento de objetivos, se consideraron las categorías capacidad cognitiva y tipo de contenido. La primera categoría, capacidad cognitiva, hace referencia al grado de precisión al enunciar la capacidad que se espera que adquiera el estudiantado y que puede ser relativa a la realización de acciones o a la manifestación de conductas. Damos tres valores a dicha variable: imprecisa, definida y elaborada. Codificamos el objetivo como impreciso cuando el enunciado planteado no menciona expresamente una capacidad (por ser un enunciado meramente matemático) o es demasiado genérica. Si el enunciado del objetivo recoge una capacidad cognitiva mediante un tipo de acción singular, es codificada como definida; mientras que, si involucra más de una de una capacidad, es codificada como elaborada.

La segunda categoría, tipo de contenido, distingue el campo conceptual del procedimental. Así, en los enunciados de los objetivos, distinguimos tres valores en esta variable: aquellos que en la componente del contenido matemático se refieren a aspectos conceptuales, aquellos que se refieren a aspectos procedimentales, o bien aquellos otros que se refieren a ambos aspectos. Cabe destacar que no hemos encontrado ningún objetivo cuyo enunciado se refiera al campo actitudinal.

Por último, las respuestas relativas a limitaciones de aprendizaje se analizaron primeramente según el tipo de dificultad. Esta variable examina, si el enunciado corresponde a un error, a una dificultad, a un obstáculo, a una ausencia de conocimiento o no es una limitación. Dependiendo del valor de la variable tipo de limitación, se analizó la respuesta según la variable tipo de dificultad o tipo de error.

La variable tipo de dificultad, de acuerdo con las categorías acotadas por ^{Socas (1997}), toma los valores (a) asociada a la complejidad de los objetos matemáticos, (b) asociada a los procesos propios de la actividad matemática, (c) asociada a los procesos de enseñanza, (d) asociada a los procesos de desarrollo cognitivo del alumnado, (e) asociada a actitudes afectivas y (f) emocionales hacia las matemáticas.

La variable tipo de error está basada en las categorías definidas por ^{Movshovitz- Hadar, Zaslavsky e Inbar (1987)}. Esta variable toma los valores (a) datos mal utilizados, (b) interpretación incorrecta del lenguaje, (c) inferencias no validas lógicamente, (d) teoremas o definiciones deformados, (e) falta de verificación de la solución, (f) errores técnicos, y (g) no es un error.

Diseño de tareas

Con respecto a la componente diseño de tareas, todos los sujetos fueron capaces de proponer, de manera natural, algún tipo de tarea. Las tareas planteadas por los sujetos participantes fueron analizadas atendiendo la estructura de la relación parte todo presente en el enunciado. La Tabla 2 recoge el balance de las tareas que enunciaron los sujetos participantes.

Las tareas que diseñaron fueron, en todos los casos, enunciados de problemas, es decir, la descripción de una relación parte todo seguida de un interrogante. En general, se pueden considerar apropiadas de acuerdo con el tema de iniciación a las fracciones, a excepción del enunciado planteado por el sujeto S6, quien propuso un enunciado de estructura aditiva de cambio. En todos los casos presentan, en primer lugar, el todo o unidad, en algunos casos fraccionado, y se solicita el resultado de un reparto (S3, S4 y S7) o el cálculo de la fracción complementaria o las partes complementarias. En este último caso se presentan distintas opciones: (a) dada una fracción se solicita la fracción complementaria (S1, S2, S8), (b) dada una fracción se solicita el número de partes restantes (S9), o (c) dada una o varias partes, se solicita la fracción de las partes restantes (S5).

Objetivos de aprendizaje

Con la descripción de los objetivos de aprendizaje, los sujetos expresaron una serie de conocimientos, capacidades y actitudes que esperan que el estudiantado alcance, domine y aplique con la explicación con la que se inició la entrevista, sobre cómo introducir las fracciones, que los sujetos realizaron en una sesión de clase. Todo el futuro profesorado manifestó algún tipo de objetivo, los cuales se recogen en la Tabla 3. Siguiendo a ^{Lupiáñez (2009}), para el análisis de las respuestas utilizamos dos categorías: capacidad cognitiva y tipo de contenido.

La mayoría de los sujetos no encontraron excesivas dificultades para enunciar objetivos de aprendizaje asociados a su narración. Con respecto a la primera variable, capacidad cognitiva, el sujeto S2 fue el único que formuló un objetivo genérico “aprender las fracciones”. Tres de los sujetos (S1, S6 y S8) plantearon objetivos elaborados, cuya expresión incluye dos capacidades situadas en enunciados independientes: “Dividir un objeto en partes iguales. Que la suma de las partes representa la totalidad del principio”. El resto de sujetos planteó objetivos específicos que expresaban una única capacidad cognitiva.

En la variable tipo de contenido, se observan objetivos relativos a conocimientos conceptuales como “Comprender la partición de las cosas, tiempo, objetos, comida, etc.” y procedimentales “Dividir un objeto en partes iguales”. En la tabla anterior se observa que no existe predominio de ninguno de los dos tipos de contenidos en las respuestas de los sujetos participantes. Solo dos participantes S1 y S6 plantearon objetivos de tipo elaborado que consideran ambos tipos de conocimientos, conceptual y procedimental, en sus respuestas.

Con respecto a los conocimientos a los que hacen referencia los objetivos, seis de los casos se corresponden con conocimientos basados en la relación parte-todo que además se relacionan con los contextos planteados: “dividir un objeto” (S3, S6 y S8), “repartir” (S1), “diferenciar las partes del todo” (S1) y “reconocer que la suma de todas las partes corresponde con el todo” (S8). Algunos de estos objetivos: “reconocer que la suma de todas las partes corresponde con el todo” y “repartir” se relacionan directamente, con las estructuras de las tareas planteadas en la pregunta anterior, mientras que “dividir un objeto” o “diferenciar las partes del todo” son más generales y encajan con cualquiera de los contextos.

Solamente S9 manifestó un objetivo ajeno al tema de iniciación a las fracciones, que hacía referencia a las operaciones, particularmente, la resta de fracciones.

Limitaciones: Errores y dificultades

En la última pregunta referente a las limitaciones en el aprendizaje, los sujetos participantes reflexionaron acerca de los errores en que puede incurrir el estudiantado al realizar su tarea y las dificultades que pueden originar estos errores. Estas respuestas se presentan en la Tabla 4.

Las respuestas dadas a la pregunta sobre errores y a la pregunta sobre dificultades, recogidas en la Tabla 4, se analizaron primeramente según la variable tipo de dificultad. Esta variable examina, si el enunciado corresponde a un error, a una dificultad, a un obstáculo, a una ausencia de conocimiento o no es una limitación. Dependiendo del valor de la variable tipo de limitación, se analizó la respuesta según la variable tipo de dificultad o tipo de error. La Tabla 5 recoge el análisis de las respuestas a las preguntas sobre limitaciones en el aprendizaje, según las variables definidas anteriormente.

Como se observa en la tabla anterior, los sujetos participantes encontraron limitaciones y carecieron de fluidez en el momento de precisar el enunciado de posibles errores en los que puede incurrir el estudiantado en las tareas que plantearon y en vincular justificadamente tales errores a las dificultades que eventualmente pudieran originar. Algunos sujetos participantes no llegaron a formular errores y dificultades, otros formularon dificultades muy genéricas o se limitaron a repetir la misma respuesta dada a la pregunta sobre errores.

Respecto a los errores planteados, las personas participantes hicieron referencia a errores técnicos o datos mal planteados recurriendo a posibles fallos en los algoritmos de suma y resta de fracciones, a pesar de que en ninguna tarea es necesaria la realización de tales operaciones para su resolución. Otros errores dados, en relación con definiciones deformadas del concepto de fracción, fue la desigualdad de las partes al dividir el todo, y en relación con datos mal utilizados, dividir el todo en un número incorrecto de partes.

Las respuestas dadas sobre dificultades se centran en los procesos propios de la actividad matemática, particularmente en los procesos de división y reparto, procesos de desarrollo cognitivo con problema en la comprensión lectora, procesos de enseñanza debido a que el profesorado no especifica bien cómo resolver la tarea, y dificultad de los objetos matemáticos por la relación entre las representaciones gráfica y numérica de las fracciones. Destaca en las respuestas el sujeto S2, ya que fue el único que respondió a las preguntas sobre limitaciones con ausencia de conocimiento “que no sepa resolverlo o si lo resuelven pondría algo (un resultado) al azar”.