Revista de Matemática Teoría y Aplicaciones

Orthogonal groups over fields of positive characteristic

Resumen Esta exposición examina la teoría de los grupos ortogonales y sus subgrupos sobre cuerpos de característica positiva, que recientemente se han utilizado como una herramienta importante en el estudio de las formas automórficas y la funcionalidad de Langlands. Presentamos la clasificación de grupos ortogonales sobre un cuerpo finito F utilizando la teoría de formas bilineales y formas cuadráticas en característica positiva. Usando el determinante y la norma del espinor cuando la característica de F es impar y usando la invariante de Dickson cuando la característica de F es par, también encontramos subgrupos especiales del grupo ortogonal.

Abstract This exposition examines the theory of orthogonal groups and their subgroups over fields of positive characteristic, which has recently been used as an important tool in the study of automorphic forms and Langlands functionality. We present the classification of orthogonal groups over a finite field using the theory of bilinear forms and quadratic forms in positive characteristic. Using the determinant and spinor norm when the characteristic of F is odd and using the Dickson invariant when the characteristic of F is even, we also look at special subgroups of the orthogonal group.

Fractional-order optimal control for a model of tuberculosis treatment efficacy in the presence of HIV/aids and diabetes

Resumen En este trabajo, aprovechando las ventajas del uso de las derivadas de orden fraccionario en el sentido de Caputo, presentamos un estudio de control óptimo de la eficacia del tratamiento de la tuberculosis (TB) en presencia del VIH/SIDA y la diabetes. El modelo matemático que es controlado se encuentra en (17) y estudia la relación entre la tuberculosis, el VIH/SIDA y la diabetes con respecto a la eficacia del tratamiento y diferencia en tuberculosis multirresistente (TB-MDR), y tuberculosis extremadamente resistente (TB-XDR). La definición de los controles se centra en evitar la reinfección/reactivación, la TB-MDR y la TB-XDR en las diferentes subpoblaciones (TB únicamente, TB-VIH/SIDA y TBDiabetes). El modelo dividido en subpoblaciones nos permite diferenciar los comportamientos de la transmisión y la resistencia y evaluar los diferentes costos en la aplicación de los controles. Realizamos simulaciones computacionales con datos de la literatura para estudiar nuestro problema de control en un escenario específico. Exploramos el comportamiento del número básico de reproducción variando la tasa de contacto efectivo y los parámetros asociados a la resistencia para diferentes valores de α (orden fraccional). Estudiamos diferentes estrategias de control basadas en la activación de los controles y encontramos que la más efectiva es cuando activamos todos los controles. Con esta estrategia, reducimos el número de casos resistentes, principalmente en la TB-XDR en diabéticos que tiene un fuerte impacto en la dinámica de resistencia y transmisión de la tuberculosis. Además, esta estrategia evita el crecimiento futuro del número de casos resistentes.

Abstract In this paper, taking advantage of the use of fractional order derivatives in the Caputo sense, we present a study of optimal control of tuberculosis (TB) treatment efficacy in the presence of HIV/AIDS and diabetes. The mathematical model to which control is applied is found in (17) and studies the relationship between TB, HIV/AIDS and diabetes with respect to treatment efficacy and differentiates into multidrug-resistant TB (MDRTB), and extensively drug-resistant TB (XDR-TB). The definition of controls focuses on avoiding reinfection/reactivation, MDR-TB and XDR-TB in the different subpopulations (TB only, TB-HIV/AIDS and TB-Diabetes). The model which is divided into subpopulations allows us to differentiate transmission and resistance behaviors and to evaluate the different costs in the application of controls. We performed computational simulations with literature data to study our control problem in a specific scenario. We explored the behavior of the basic reproduction number by varying the effective contact rate and the parameters associated with the resistance for different values of α (fractional order). We studied different control strategies based on the activation of the controls and found that the most effective is when we activate all the controls. With this strategy, we reduce the number of resistant cases, mainly in XDR-TB in diabetics which has a strong impact on the dynamics of TB resistance and transmission. In addition, this strategy avoids future growth in the number of resistant cases.

Cosmological exact solutions of Petrov type D. a mixture of two fluids: dark energy and radiation

Abstract In this paper, two exact solutions of the Einstein's equations are obtained for an anisotropic and homogeneous symmetry of Petrov Type D, the difference between both solutions lies in how relevant is the expansión that is presented initially, either on an axis or on a perpendicular plane. Both solutions represent a mixture of two fluids with minimum interaction: dark energy (P = -µ) and radiation (P = µ/3). The singularities and the influence that these fluids have on this metric are studied; the Hubble parameters, the deceleration parameter and the role that these fluids representon them are determined and analyzed. Additionally, their temperatura and the role that both play on this magnitude are determined.

Resumen En este trabajo se obtienen dos soluciones exactas de las ecuaciones de Einstein para una simetría anisotrópica y homogénea del Tipo Petrov D, la diferencia entre ambas soluciones radica en que tan relevante es la expansión que se presenta inicialmente, ya sea en un eje o en un plano perpendicular. Dichas soluciones representan una mezcla de dos fluidos con mínima interacción: energía oscura (P = -µ) y radiación (P = µ/3). Se estudia las singularidades y la influencia que estos fluidos tienen en esta métrica; así como el parámetro de Hubble, el parámetro de desaceleración y la influencia que estos fluidos tienen en ellos. Además, se determina su temperatura y el papel que ambos juegan en esta magnitud.

Maximum likelihood estimation of ruin probability in the classical risk model with exponential claims

Resumen Se calculan los estimadores de máxima verosimilitud para los paráme- tros que definen al proceso de Poisson compuesto en el proceso de riesgo clásico con reclamaciones exponenciales. Se prueba consistencia y nor- malidad asintótica de los estimadores obtenidos. Finalmente, con ayuda de la propiedad de invarianza de los estimadores de máxima verosimili- tud, la normalidad asintótica y el método delta, se realiza una estimación puntual y por intervalos de la probabilidad de ruina.

Abstract Maximum likelihood estimators are calculated for the parameters that define the compound Poisson process in the classical risk process with exponential claims. It is proved consistency and asymptotic normality for estimators obtained. Finally, with the help of invariance property of the maximum likelihood estimators, asymptotic normality and delta method, point and interval estimation of the ruin probability is performed.

Text minig in the National Transparency Survey 2019

Resumen Codificar y analizar preguntas abiertas provenientes de encuestas de opinión suele ser laborioso. La minería de texto ofrece una alternativa para ese tipo de problemática. Se utilizaron los datos de preguntas abiertas provenientes de la Encuesta Nacional de Percepción sobre la Transparencia 2019. Se aplica la minería de texto desde un enfoque descriptivo como predictivo: este último posee un interés predominante al realizar la codificación automática de respuestas o categorías a partir del aprendizaje automático supervisado. Se emplean algoritmos de máquinas de soporte vectorial, clasificador ingenuo de Bayes, bosques aleatorios, XGBoost y vecinos más cercanos. Los resultados del análisis descriptivo permiten apreciar las descripciones, visualizaciones y relaciones en el análisis de las preguntas abiertas. El análisis predictivo reseña que los algoritmos seleccionados con mayor ocurrencia para las preguntas abiertas fueron el clasificador ingenuo de Bayes y los bosques aleatorios, mostrando precisiones de entre 48% y 76%. Se obtuvieron resultados similares en comparación con las categorías que fueron codificadas manualmente. Se aprecian resultados satisfactorios en el análisis integral de las 12 preguntas de la encuesta.

Abstract Coding and analyzing open-ended questions from opinion survey is often time consuming. Text mining offers an alternative for this type of problem. Data comes from the 2019 National Survey of Perception on Transparency open-ended questions. Text mining is applied from a descriptive and predictive approach: the latter has a predominant interest in performing the automatic coding of responses or categories using supervised machine learning. Support vector machine algorithms, naive Bayes classifier, random forests, XGBoost, and closest neighbors are used. The results of the descriptive analysis improve the descriptions, visualizations and relationships in the analysis of the open-ended questions. The predictive analysis reports that the algorithms with the highest selection occurrence for the open-ended questions were the naive Bayes classifier and the random forests, showing accuracies between 48% and 76%. Similar results were obtained compared with the pre-established categories. Satisfactory results are seen in the comprehensive analysis of the 12 survey questions.

Deep gaussian processes and infinite neural networks for the analysis of EEG signals in Alzheimer's diseases

Abstract Deep neural network models (DGPs) can be represented hierarchically by a sequential composition of layers. When the prior distribution over the weights and biases are independently identically distributed, there is an equivalence with Gaussian processes (GP) in the limit of an infinite network width. DGPs are non-parametric statistical models used to characterize patterns of complex non-linear systems due to their flexibility, greater generalization capacity, and a natural way of making inferences about the parameters and states of the system. This article proposes a hierarchical Bayesian structure to model the weights and biases of a deep neural network. We deduce a general formula to calculate the integrals of Gaussian processes with non-linear transfer densities and obtain a kernel to estimate the covariance functions. In the methodology, we conduct an empirical study analyzing an electroencephalogram (EEG) database for diagnosing Alzheimer's disease. Additionally, the DGPs models are estimated and compared with the NN models for 5, 10, 50, 100, 500, and 1000 neurons in the hidden layer, considering two transfer functions: Rectified Linear Unit (ReLU) and hyperbolic Tangent (Tanh). The results show good performance in the classification of the signals. Finally, we use the mean square error as a goodness of fit measure to validate the proposed models, obtaining low estimation errors.

Resumen Los modelos de redes neuronales profundos (DGPs) se pueden representar jerárquicamente mediante una composición secuencial de capas. Cuando la distribución prior sobre los pesos y sesgos son independientes idénticamente distribuidos, existe una equivalencia con los procesos Gaussiano (GP), en el límite de una anchura de red infinita. Los DGPs son modelos estadísticos no paramétricos y se utilizan para caracterizar los patrones de sistema no lineales complejos, por su flexibilidad, mayor capacidad de generalización, y porque proporcionan una forma natural para hacer inferencia sobre los parámetros y estados del sistema. En este artículo se propone una estructura Bayesiana jerárquica para modelar los pesos y sesgos de la red neuronal profunda, se deduce una formula general para calcular las integrales de procesos Gaussianos con funciones de transferencias no lineles, y se obtiene un núcleo para estimar las funciones de covarianzas. Para ilustrar la metodología se realiza un estudio empírico analizando una base de datos de electroencefalogramas (EEG) para el diagnóstico de la enfermedad de Alzheimer. Adicionalmente, se estiman los modelos DGPs, y se comparan con los modelos de NN para 5, 10, 50, 100, 500 y 1000 neuronas en la capa oculta, considerando dos funciones de transferencia: Unidad Lineal Rectificada (ReLU) y tangenge hiperbólica (Tanh). Los resultados demuestran buen desempeño en la clasificación de las señales. Finalmente, utilizó como medida de bondad de ajuste el error cuadrático medio para validar los modelos propuestos, obteniéndose errores de estimación bajos.