Revista de Matemática Teoría y Aplicaciones

Del teorema del muestreo discreto a teorema del muestreo de Shannon mediante los números hiperreales ∗R

Abstract Shannon’s sampling theorem is one of the most important results of modern signal theory. It describes the reconstruction of any band-limited signal from a finite number of its samples. On the other hand, although less well known, there is the discrete sampling theorem, proved by Cooley while he was working on the development of an algorithm to speed up the calculations of the discrete Fourier transform. Cooley showed that a sampled signal can be resampled by selecting a smaller number of samples, which reduces computational cost. Then it is possible to reconstruct the original sampled signal using a reverse process. In principle, the two theorems are not related. However, in this paper we will show that in the context of Non-Standard Mathematical Analysis (NSA) and Hyperreal Numerical System ∗R, the two theorems are equivalent. The difference between them becomes a matter of scale. With the scale changes that the hyperreal number system allows, the discrete variables and functions become continuous, and Shannon’s sampling theorem emerges from the discrete sampling theorem.

Resumen El teorema del muestreo de Shannon es uno de los resultados más importantes de la moderna teoría de señales. Este describe la reconstrucción de toda señal de banda limitada desde un número finito de sus muestras. Por otra parte, aunque menos conocido, se tiene el teorema del muestreo discreto, demostrado por Cooley mientras trabajaba en la elaboración de un algoritmo para acelerar los cálculos de la transformada discreta de Fourier. Cooley demostró que una señal muestreada se puede volver a muestrearla mediante la selección de un número menor de muestras, lo cual reduce el costo computacional. Luego, es posible reconstruir la señal muestreada original mediante un proceso inverso. En principio, los dos teoremas no están relacionados. Sin embargo, en este artíclo demostraremos que, en el contexto del Análisis Matemático No Estándar (ANS) y el Sistema Numérico Hiperreal ∗R, los dos teoremas son equivalentes. La diferencia entre ellos se vuelve un asunto de escala. Con los cambios de escala que permite realizar el sistema numérico hiperreal, las variables y funciones discretas se vuelven continuas, y el teorema del muestreo de Shannon emerge del teorema del muestreo discreto.

Bifurcaciones en Modelo Gause Depredador-Presa con discontinuidad

Resumen En este trabajo se presentan las condiciones necesarias para garantizar la existencia de un ciclo límite estable en un modelo de Gause depredador - presa y algunos aspectos geométricos para realizar un análisis cualitativo en sistemas dinámicos de Filippov bidimensional. Con esos lineamientos definidos, se estudia la dinámica de un modelo depredador-presa cuando la explotación en los depredadores es restringida si la cantidad de presas es inferior a un valor critico. El estudio es llevado a cabo por el análisis de bifurcación con relación a dos parámetros: explotación y protección de las poblaciones a interactuar.

Abstract This paper presents the necessary conditions to guarantee the existence of a stable limit cycle in a predator - prey model and some geometrical aspects to perform a qualitative analysis in two - dimensional Filippov dynamic systems. With these defined guidelines, the dynamics of a predator - prey model are studied when exploitation in predators is restricted if the number of prey is lower than a critical value. The study is carried out by the bifurcation analysis in relation to two parameters: exploitation and protection of the populations to interact.

Solución tipo onda viajera en un Modelo Difusivo Depredador-Presa tipo Holling II

Resumen En este trabajo se demuestra la existencia de ondas viajeras como soluciones para un modelo depredador-presa, con funcional de depredación Holling II y término difusivo unidimensional para los depredadores. Al realizar un análisis cualitativo al modelo sin difusión, se deduce que el modelo con difusión presenta soluciones periódicas. De igual forma, al asumir solución tipo onda viajera al modelo con difusión, se demuestra que posee una órbita heteroclínica que conecta dos puntos de equilibrio, atractora a uno de ellos, y por tanto presenta frentes de ondas.

Abstract This paper demonstrates the existence of traveling waves as solutions for a predator - prey model with a Holling II predation function and a onedimensional diffusive term for predators. When performing a qualitative analysis on the model without diffusion, it follows that the model with diffusion presents periodic solutions. Similarly, by assuming a traveling wave-type solution to the diffusion model, it is shown that it has a heteroclinical orbit that connects two equilibrium points, attracted to one of them, and therefore presents wave fronts.

Índice de conley y sistemas dinámicos continuos

Resumen El objetivo principal de este trabajo es aplicar métodos topológicos para obtener resultados sobre flujos continuos determinados por ecuaciones diferenciales. Específicamente, aplicamos la teoría del índice de Conley para demostrar que, bajo ciertas condiciones, existe un conjunto invariante que contiene una solución no trivial. La construcción de este conjunto invariante es puramente topológica y depende del flujo de la ecuación diferencial, pero la existencia de la solucion no trivial se obtiene como una aplicación de técnicas de homología. En este artículo expositivo desarrollamos y precisamos estas ideas, y para conseguir un mejor entendimiento incluimos algunos ejemplos y cálculos en algunas ecuaciones diferenciales ordinarias. Este trabajo está basado principalmente en [6].

Abstract The goal of this work is to apply topological methods to obtain results about continuous flows determined by differential equations. Specifically, we apply the Conley Index Theory to prove that, under certain assumptions, there is an invariant set which contains a non-trivial solution. The construction of this invariant set is purely topological and depends on the flow of the differential equation, but the existence of the non-trivial solution is obtained as an application of homological techniques. In this survey paper we develop and precise these ideas, and in order to get a better understanding we include some examples and computations in some ordinary differential equations. This work is mostly based on [6].

Una fórmula recursiva para los momentos de algunas distribuciones de probabilidad

Abstract We provide a recursive formula for the computation of moments of distributions belonging to a subclass of the exponential family. This subclass includes important cases as the binomial, negative binomial, Poisson, gamma and normal distribution, among others. The recursive formula provides a procedure to sequentially calculate the moments using only elementary operations. The approach makes no use of the moment generating function.

Resumen Se proporciona una fórmula recursiva para calcular los momentos de ciertas distribuciones que pertenecen a una subclase de la familia exponencial. A esta subclase de distribuciones pertenecen las distribuciones binomial, binomial negativa, Poison, gama y normal, entre otras. La fórmula recursiva provee de un procedimiento para calcular los momentos de manera secuencial usando únicamente operaciones elementales. El método no hace uso de la función generadora de momentos.

Un modelo simple con presión de grupo: el caso de las conductas antisociales

Abstract Antisocial behaviors such as consumption of addictive substances and eating disorders are modeled using a SIR model. We propose a function l(y(t)) that describes the relapse-recovery-recycling rate. l(y(t)) describes either strengthening or weakening of convictions of recovered individuals to relapse in antisocial behaviors. We show that a wide variety of functions can induce the existence of multiple equilibria points for R0 1 which is a catastrophic scenario for the susceptible population. Finally, conditions for avoiding a sudden and catastrophic jump in the number of individuals with antisocial behaviors are given.

Resumen Comportamientos antisociales tales como consumo de sustancias adictivas y desordenes de la alimentación son modelados usando un modelo SIR. Proponemos una función l(y(t)) que describe la tasa de reciclamiento-recuperación-recaída. l(y(t)) describe ya sea el fortalecimiento o debilitamiento de la convicción de los individuos a recaer en conductas antisociales. Mostramos que una amplia variedad de funciones puede inducir la existencia de múltiples puntos de equilibrio para R0 1, lo que constituye un escenario catastrófico para la población susceptible. Finalmente, se dan condiciones para evitar un aumento repentino y catastrófico en el número de individuos con comportamientos antisociales.

Métrica aproximada tipo Kerr-Newman con cuadrupolo

Abstract The Kerr metric is known to have issues when trying to find a physical interior solution. In this work we continue our efforts to construct a more realistic exterior metric for astrophysical objects. A new approximate metric representing the spacetime of a charged, rotating and slightly-deformed body is obtained by perturbing the Kerr-Newman metric to include the mass-quadrupole and quadrupole-quadrupole orders. It has a simple form because it is Kerr-Newman-like.

Resumen Se sabe que la métrica de Kerr tiene problemas al tratar de encontrar una solución física interior. En este trabajo continuamos nuestros esfuerzos para construir una métrica exterior más realista para describir objetos astrofísicos. Una nueva métrica aproximada que representa el espaciotiempo de un cuerpo cargado, giratorio y ligeramente deformado, se obtiene perturbando la métrica de Kerr-Newman para incluir los órdenes de masa-cuadrupolo y cuadrupolo-cuadrupolo. Tiene una forma simple porque es similar a Kerr-Newman.

Uso de la transformada de wavelet para el análisis de oscilaciones en filamentos quietos del sol

Resumen Hemos analizado la evolución (temporal y según la altura) de las oscilaciones de largo período de dos filamentos quietos, relacionados con los procesos iniciales de sus inestabilidades termales y/o dinámicas y su correlación con las respuestas coronales asociadas, principalmente con las Eyecciones de Masa Coronal (CMEs). El estudio de oscilaciones se realizó durante las Rotaciones de Carrington CR 2151 y CR 2152, que coinciden con el máximo del ciclo solar 24, con base en las imágenes de múltiples longitudes de onda, tomadas por SDO y GONG. Se llevó a cabo una rutina en SolarSoft, utilizando la transformada de wavelet, que permite obtener el espectro de frecuencias de las oscilaciones de largo período y su evolución temporal para los filamentos. Los resultados de este estudio muestran que estas oscilaciones son asociadas a movimientos longitudinales de pequeña amplitud mayoritariamente, y su origen se relaciona con las inestabilidades termales de filamentos, que provocan flujos bidireccionales en los filamentos. Además, se detectó claramente una oscilación adicional con un período de 6 h en los espectros de ondículas y periodogramas, aunque no fue posible identificar oscilaciones longitudinales que coincidieran con este período. Asimismo, hemos identificado indicios de que en los eventos estudiados el proceso de reconexión magnética también ocurren en capas por debajo de la corona, ya que las perturbaciones de la intensidad observadas son más prominentes en los filtros correspondientes a la cromósfera, zona de transición y la corona baja mientras que éstas decaen en los filtros asociados a la corona.

Abstract We have analyzed the time and height evolution of the long-period oscillations of two quiescent filaments, related to the initial processes of their thermal and/or dynamic instabilities and their correlation with the associated coronal responses, mainly with Coronal Mass Ejections (CMEs). The study of oscillations was carried out during the Carrington Rotations CR 2151 and CR 2152, which coincide with the maximum of solar cycle 24, based on the images of multiple wavelengths, taken by SDO and GONG. A routine was carried out in SolarSoft, using the wavelet transform, which allows obtaining the frequency spectrum of long-period oscillations and their temporal evolution for the filaments. The results of this study show that these oscillations are mainly associated with small amplitude longitudinal movements and their origin is related to the thermal instabilities of filaments, which cause bidirectional fluxes in the filaments. Furthermore, an additional oscillation with a period of 6 h was clearly detected in the wavelet and periodogram spectra, although it was not possible to identify longitudinal oscillations that coincided with this period. As well we have identified indications that in the studied events the magnetic reconnection process also occurs in layers below the corona, since the intensity disturbances observed are more prominent in the filters corresponding to the chromosphere, transition zone and the low corona, while they decay in the filters associated with the corona.

Análisis de los conglomerados de precipitación y sus cambios estacionales sobre América Central para el periodo 1976-2015

Resumen La ubicación geográfica de América Central juega un papel importante en la descripción de la variabilidad climática de la región. Está rodeada por dos grandes masas de agua, el Pacífico Tropical del Este en el lado occidental y el Mar Caribe en el lado oriental. La región es sensible al efecto de los sistemas dinámicos tanto a gran escala como a escala regional que actúan en sus proximidades, siendo la topografía el principal modulador local de la variabilidad en la región. Para tener en cuenta esta variabilidad climática espacial se utilizaron 57 estaciones meteorológicas con datos diarios de precipitación en América Central para el periodo 1976-2015. Se definieron índices mensuales para describir cuánto y cómo llueve: acumulado total mensual (ACU), cantidad de días con lluvia (DCP), porcentaje de días que no sobrepasan el percentil 20 (extremos secos), y el porcentaje de días que exceden el percentil 80 (extremos húmedos). Por medio de técnicas de aprendizaje automatizado (análisis de conglomerados) se estimaron un número óptimo de grupos para cada variable. La optimización se realizó utilizando el estadístico de brecha. Se encontró un patrón de grupos localizados principalmente en la vertiente Pacífico y Caribe, mientras que en todas las variables se identificó un grupo localizado en la región del Caribe de Costa Rica. Al analizar los cambios en los 40 años de análisis, no se encontraron cambios ni tendencias significativos en las escalas de tiempo mensual estacional y anual ni a nivel de estación, grupal ni regional.

Abstract The geographical location of Central America plays a significant role in describing the climate variability of the region. It is surrounded by two large water masses, the Eastern Tropical Pacific ocean on the western side and the Caribbean Sea on the eastern side. The region is sensitive to the effect of both large-scale and regional-scale dynamical systems acting in its vicinity, being the topography the main local modulator of the variability in the region. To account this spatial climate variability we used 57 meteorological stations with daily precipitation data in Central America for the period 1976-2015. Monthly indices were defined to describe how much and how it rains: monthly total accumulated (ACU), number of days with rain (DCP), percentage of days that do not exceed the 20th percentile (dry extremes), and the percentage of days that exceeds the percentile 80th (wet extreme). Using automated learning techniques (cluster analysis), an optimal number of groups was estimated for each variable. Optimization was performed using the gap statistic. A pattern of groups located primarily on the Pacific and Caribbean slopes was found, while in all variables a group located in the Caribbean region of Costa Rica was identified. When analyzing the changes in the 40 years of analysis, no significant changes or trends were found in the monthly seasonal or annual time scales or at the station, group or regional level.