Revista de Matemática Teoría y Aplicaciones

Large-numbers behavior of the sample mean and the sample median: a comparative empirical study

Abstract [12] Through simulation, we study and compare the large-numbers behavior of the sample mean and the sample median as estimators of their respective corresponding population parameters. We only consider skewed, continuous distributions that do have a mean and a unique median. With respect to the pertinent probabilities, our results throw some light on the speed of convergence, the effect of the skewness, and, intriguinly, also suggest the existence of a couple of changepoints or change-intervals. We propose some questions for further study.

Resumen [16] Se presentan los resultados de un estudio de simulación donde hemos comparado el comportamiento de la media y la mediana de muestras como estimadores de sus respectivos parámetros, según crece el tamaño de la muestra. Sólo consideramos distribuciones continuas y sesgadas cuyas medias existen y cuyas medianas son únicas. Con respecto a las probabilidades en cuestión, nuestros resultados esclarecen ambos la rapidez de convergencia y el efecto del sesgo. Además, nos intriga ver que, al parecer, existen puntos de cambio o intervalos de cambio, donde cambia el comportamiento de los estimadores. Para concluir, proponemos varios temas para futuras investigaciones.

Demographic Modeling Via 3-Dimensional Markov Chains

Resumen [20] En este artículo se presenta un nuevo modelo de generación poblacional que puede ser utilizado para proyectar cantidades de personas en fondos de pensiones (tanto cotizantes como jubilados) así como trabajadores en instituciones públicas. Aunado a esto, el modelo presenta oportunidades para cuantificar los flujos derivados de estas poblaciones futuras, tales como gastos en salarios, cotizaciones, pluses salariales, aportes patronales a ahorros/pensiones, entre otros. Claramente la implementación de este modelo probabilístico será de gran utilidad dentro de la caja de herramientas actuariales, aumentando la confiabilidad de las proyecciones, así como permitiendo análisis más profundos por cuanto el desglose poblacional y financiero del modelo es extenso. Aquí se construye un modelo matemático-probabilístico que permite capturar las singularidades de las transiciones entre estados, con suficiente flexibilidad como para aplicarse a varios escenarios. Se estiman exitosamente sus primeros momentos, así como el ajuste de las probabilidades que lo alimenta. Para verificar la idoneidad del modelo propuesto, se implementa con datos reales de una institución pública, y se calcula el error de estimación, presentando niveles inferiores al 2 %.

Abstract [24] This article presents a new model for demographic simulation which can be used to forecast and estimate the number of people in pension funds (contributors and retirees) as well as workers in a public institution. Furthermore, the model introduces opportunities to quantify the financial flows coming from future populations such as salaries, contributions, salary supplements, employer contribution to savings/pensions, among others. The implementation of this probabilistic model will be of great value in the actuarial toolbox, increasing the reliability of the estimations as well as allowing deeper demographic and financial analysis given the reach of the model. We build a mathematical and probabilistic model that allows us to capture the singularities of the transitions between states with enough flexibility that it can be applied to several scenarios. We successfully estimate its first moments, and show how to adjust the required probabilities. In order to verify the exactness of the proposed model we applied it to real data from a public institution, showing that the estimation error is below the 2 %.

Establishing a methodology of a dynamic salary scale of the collective capitalization pension fund of the teachers in Costa Rica

Resumen [15] El Régimen de Capitalización Colectiva (RCC) acoge a todos los trabajadores del Magisterio Nacional de Costa Rica nombrados posteriormente al 14 de Julio de 1992. El magisterio está compuesto por el personal docente y administrativo del Ministerio de Educación Pública, de los Centros Educativos Privados, del Instituto Nacional de Aprendizaje y de las universidades públicas del país. Para la elaboración de los estudios actuariales del fondo, se requieren proyectar los salarios futuros de estos trabajadores. Sin embargo, para realizar esta tarea se han encontrado algunas dificultades tales como: que los trabajadores no necesariamente mantienen el mismo tiempo de nombramiento durante todo el calendario escolar, la variabilidad de los nombramientos en cuanto a jornadas y los lapsos que se ausentan de las aulas. Ante este comportamiento salarial se ha realizado un Análisis de Componentes Principales (ACP) para establecer qué variables explican mejor este fenómeno, y se elaboró un modelo binomial de incremento o decremento salarial anual, que es la base para la construcción de una escala salarial del Magisterio.

Abstract [19] The Teachear’s Pension Fund integrates all the workers of the national magisterium of Costa Rica who were hired after july 14th, 1992. The magisterium are integrated by funcionaries of the Ministry of Public Education, private schools, funcionaries of the National Institute of Learning and the Public Universities of the country. In order to elaborate the Actuarial Report of the fund, we require to project the future salaries of these workers. However, in order to perform this task we have find some difficulties such as: the workers not necessarily keep the same time working during the scholar year, the variability of the time designation and the lapse of time they are out of the scholar room. In view of this salary behavior, a Principal Component Analysis (PCA) was carried out to establish which variables best explain this phenomenon, and a binomial model of increase or decrease the salary anually was elaborated, which is the basis for the construction of a salary scale for the Magisterium.

Unexistence of limit cycle in an optimal control problem of a population of diabetics

Abstract [15] This paper deals with one of the most important public health problem in the whole world that is diabetes, and more precisely its complications. From a model examining the complications or not of a population of diabetics, we associate a nonlinear optimal control problem. Considering the previous, we prove that the equilibrium state exists and is a saddle point. Moreover, we claim the unexistence of limit cycle in such a population, which is an interesting result concerning this world evil. Then we give some examples for which we characterize the equilibrium state which is not necessarily admissible.

Resumen [19] La diabetes, debido a sus complicaciones, es una de las enfermedades que más problemas plantean en la salud pública actual mundial. En este trabajo se parte de una población de diabéticos con y sin complicaciones y se asocia un problema de control óptimo no lineal que describe la dinámica de la población. Para este modelo se prueba la existencia del estado de equilibrio y que es un punto de ensilladura. Además se obtuvo que no existen ciclos límite, lo que es un resultado importante, dado el problema que se describe. Se presentan ejemplos para los cuales el estado de equilibrio que se caracteriza no es necesariamente admisible.

HIV optimal control model with infection rate depending on the virus density

Resumen [13] Se propone un modelo en ecuaciones diferenciales ordinarias para describir la dinámica de infección por VIH en una población de células T CD4 susceptibles a la infección y considerando una tasa de infección no lineal densodependiente. Se analiza la estabilidad del modelo con base en el número básico de reproducción, lo que permite determinar resultados de estabilidad y un umbral de control mediante la reducción de la tasa máxima de infección. Luego se formula un problema de control óptimo para establecer funciones óptimas de tratamiento mediante inhibidores de transcriptasa inversa e inhibidores de proteasa, que minimicen la carga viral y los costos directos y/o indirectos de la administración del tratamiento. Se estudian los casos en que la efectividad del tratamiento es nula y plena, y para el caso de efectividad imperfecta del tratamiento se acude al PrincipiodelMáximodePontryagin. Se presentan simulaciones numéricas del modelo sin tratamiento y de los diferentes escenarios con tratamiento.

Abstract [17] We propose a model on ordinary differential equations to describe the dynamics of HIV infection in a population of CD4 T cells susceptible to infection and considering a nonlinear infection rate depending on viral density. The stability of the model is analyzed based on the basic reproduction number, which allows us to determine stability results and a control threshold by reducing the rate of maximum infection. An optimal control problem is then formulated to establish optimal treatment functions by reverse transcriptase inhibitors and protease inhibitors that minimize viral load and direct and/or indirect costs of treatment administration. We study the cases in which the effectiveness of the treatment is null and full, and for the case of imperfect effectiveness of the treatment, we refer to the MaximumPrincipleofPontryagin. Numerical simulations of the model without treatment and of the different scenarios with treatment are presented.

Model for HIV transmission in a population with sex differentiation and use of preventive measures

Resumen [15] En este artículo se formula un modelo basado en ecuaciones diferenciales ordinarias, para describir la dinámica de transmisión del VIH considerando una diferenciación en la población según el género y la orientación sexual, con el fin de analizar el impacto que el uso de medidas preventivas tiene en la reducción de la transmisión del virus. Se realiza además un estudio de simulación numérica para ilustrar diferentes escenarios de control mediante medidas preventivas.

Abstract [19] A model based on ordinary differential equations to describe the dynamics of HIV transmission, considering differentiation in the population according to gender and sexual orientation is proposed, in order to analyze the impact of preventive measures in reducing HIV transmission. A numerical study is carried out to illustrate different control scenarios through preventive measures.

Quasilinear Theory of Kato

Resumen [12] En el presente artículo analizaremos el problema de Cauchy local asociado a la ecuación de Korteweg-De Vries (KdV) en H s con s > 3/2. El objetivo de este trabajo, consiste en establecer la buena formulación local del problema cuando u 0 ∈ H s , s > 3/2, para ello aplicaremos la teoría cuasi-lineal de Kato, el cual consta de (06) hipótesis, en el caso lineal y (08) hipótesis en el caso no-lineal. En la solución del problema de Cauchy para la ecuación de evolución cuasi-lineal, nos basaremos en el teorema del punto fijo de Banach.

Abstract [16] In the present paper we will analyze the local Cauchy problem associated with the Korteweg-De Vries (KdV) equation in H s with s > 3/2. The objective of this work is to establish the good local formulation of the problem when u 0 ∈ H s , s > 3/2, for this we apply the quasi-linear theory of Kato, which consists of (06) hypotheses, in the linear case and (08) hypotheses in the non-linear case. In the solution of Cauchy’s problem for the quasi-linear equation of evolution, we will rely on Banach’s fixed-point theorem. [17] Keywords: local existence and uniqueness theorems; existence of generalized solutions; applications of PDE in areas other than physics.

Hamiltonian cycles that pass through a linear forest of balanced bipartite graphs

Resumen [16] Sea G = (A ∪ B,E) un grafo bipartito con |A| = |B| = n ≥ 4. [17] Un grafo es un bosque lineal si cada componente es un camino. Sea S un conjunto de m lados de G que induce un bosque lineal. Probaremos que si σ 1,1 (G) = min{d G (u) + d G (v) : u ∈ A,v ∈ B,uv ̸∈ E(G)} ≥ (n+1)+m, entonces G contiene (m+1) ciclos hamiltonianos C j tal que |E(C j ) ∩ S| = j, con j = 0,1,...,m.

Abstract [21] Let G = (A ∪ B,E) be a bipartite graph whith |A| = |B| = n ≥ 4. [22] A graph is linear forest if every component is a path. Let S be a set of m edges of G that induces a linear forest. We prove that if σ 1,1 (G) = min{d G (u) + d G (v) : u ∈ A,v ∈ B,uv ̸∈ E(G)} ≥ (n + 1) + m, then G contains (m + 1) hamiltonian cycles C j such that |E(C j ) ∩ S| = j, with j = 0,1,...,m.